Sebuah graf terdiri dari simpul-simpul (vertices) dan sisi-sisi (edges) yang menghubungkan simpul-simpul tersebut.

Sebuah graf dapat tidak terarah (yang berarti tidak ada perbedaan antara kedua arah dari sisi dua arah yang menghubungkan dua buah simpul) atau sebuah graf dapat terarah (yang berarti sisi-sisi yang ada memiliki arah tertentu dari sebuah simpul ke simpul lainnya, namun belum tentu ada untuk arah sebaliknya).

Sebuah graf dapat berbobot (dengan menempatkan sebuah bobot pada tiap sisi yang berupa sebuah angka yang diasosiasikan dengan sisi tersebut) atau tidak berbobot (semua sisi memiliki bobot 1 atau semua sisi memiliki bobot konstan yang sama).

Kebanyakan dari masalah-masalah graf yang kita bahas di VisuAlgo berhubungan dengan graf-graf sederhana (simple graphs).

Didalam sebuah graf sederhana, tidak ada sisi yang melingkar sendiri (sisi yang menghubungkan sebuah simpul dengan simpul itu sendiri) dan tidak ada sisi-sisi ganda/paralel (sisi-sisi diantara sepasang simpul yang sama). Dengan kata lain: Cuma ada maksimum satu sisi diantara sepasang simpul yang unik.

Jumlah sisi-sisi E di dalam sebuah graf sederhana cuma bisa berkisar dari 0 sampai O(V²).

Algoritma-algoritma graf pada graf-graf sederhana lebih mudah daripada pada graf-graf tidak sederhana.

Sebuah sisi tidak terarah e: (u, v) dikatakan incident dengan kedua ujung simpul: u dan v. Dua simpul dikatakan tetangga (adjacent) jika mereka incident dengan sisi yang sama. Contohnya, sisi (0, 2) bersinggungan dengan simpul 0+2 dan simpul-simpul 0+2 adalah tetangga.

Dua sisi-sisi dikatakan adjacent bila mereka bersinggungan dengan simpul yang sama. Contohnya, sisi (0, 2) dan (2, 4) adalah adjacent.

Degree dari simpul v dalam sebuah graf tidak terarah adalah jumlah sisi-sisi yang bersinggungan dengan v. Sebuah simpul dengan degree 0 disebut sebagai simpul yang terisolasi. Contohnya, simpul 0/2/6 mempunyai degree 2/3/1.

Sebuah sub-graf G' dari sebuah graf G adalah graf (yang lebih kecil) yang berisi subset dari simpul-simpul dan sisi-sisi dari G. Contohnya, segitiga {0, 1, 2} adalah sub-graf dari graf yang sekarang ditampilkan.

Sebuah jalur (path) (dengan panjang n) dalam sebuah graf (tidak terarah) G adalah urutan simpul-simpul {v₀, v₁, ..., v_n-1, v_n} sehingga ada sisi diantara v_i dan v_i+1 ∀i ∈ [0..n-1] sepanjang jalur tersebut.

Jika tidak ada simpul yang diulang disepanjang jalan, kita menyebut jalur tersebut sebagai jalur sederhana (simple path).

Contohnya, {0, 1, 2, 4, 5} adalah satu jalur sederhana di graf yang sekarang ditampilkan.

Sebuah graf tidak terarah G dikatakan terhubung jika ada jalur diantara setiap pasangan simpul yang berbeda di G. Contohnya, graf yang sedang ditampilkan sekarang adalah graf yang tidak terhubung.

Sebuah graf tidak terarah C dikatakan sebagai komponen terhubung dari graf tidak terarah G jika:

1). C adalah sub-graf dari G;

2). C terhubung;

3). tidak ada sub-graf terhubung dari G yang memiliki C sebagai sub-graf dan memiliki simpul-simpul atau sisi-sisi yang tidak berada dalam C (dengan kata lain C adalah sub-graf maksimal yang memenuhi dua kriteria lainnya).

Contohnya, graf yang sekarang ditampilkan memiliki {0, 1, 2, 3, 4} dan {5, 6} sebagai dua komponen terhubungnya.

Sebuah simpul potongan/jembatan merupakan sebuah simpul/sisi yang menambahkan banyaknya komponen terhubung dalam graf jika dihapuskan. Contohnya, untuk graf yang sekarang ditampilkan, tidak ada simpul potongan, tetapi sisi (5, 6) adalah jembatan.

Dalam sebuah graf terarah, beberapa dari terminologi-terminologi yang disebut terlebih dahulu memiliki beberapa modifikasi kecil.

Jika kita memiliki sisi terarah e: (u → v), kita bilang bahwa v adjacent (bersebelahan) dengan u tetapi belum tentu sebaliknya. Contohnya, 1 adjacent dengan 0 tetapi 0 tidak adjacent dengan 1 di dalam graf yang sekarang ditampilkan.

Dalam graf terarah, kita harus membedakan degree dari sebuah simpul v lebih rinci lagi, yaitu degree-dalam dan degree-luar. Degree-dalam/luar adalah jumlah sisi-sisi yang masuk/keluar dari simpul v. Contohnya, simpul 1 mempunyai degree dalam/luar sebesar 2/1.

Dalam graf berarah, kita memperluas konsep Komponen Terhubung (Connected Component atau CC) menjadi Komponen Terhubung Kuat (Strongly Connected Component atau SCC). Sebuah graf berarah G disebut terhubung kuat jika ada jalur di setiap arah antara setiap pasangan simpul yang berbeda dari G.

Sebuah graf berarah SCC disebut sebagai komponen terhubung kuat dari graf berarah G jika:
1). SCC adalah subgraf dari G;
2). SCC terhubung kuat;
3). tidak ada subgraf terhubung dari G yang memiliki SCC sebagai subgraf dan berisi simpul atau sisi yang tidak ada di SCC (yaitu, SCC adalah subgraf maksimal yang memenuhi dua kriteria lainnya).

Dalam graf berarah yang sekarang ditampilkan, kita memiliki {0}, {1, 2, 3}, dan {4, 5, 6, 7} sebagai tiga SCC-nya.

Sebuah siklus (cycle) adalah sebuah jalur (path) yang bermula dan berakhir di simpul yang sama.

Sebuah graf tidak-bersiklus (acyclic graph) adalah sebuah graf yang tidak mempunyai siklus.

Dalam sebuah graf tidak terarah, setiap dari sisi tidak terarahnya menyebabkan sebuah siklus sepele (trivial cycle) (dengan panjang 2) meskipun kita biasanya tidak akan mengklasifikasikannya sebagai sebuah siklus.

Sebuah graf terarah yang juga tidak-bersiklus mempunyai nama spesial: Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graph, DAG), seperti yang ditunjukkan diatas.

Ada algoritma-algoritma menarik yang bisa kita lakukan di graf-graf yang tidak-bersiklus yang akan dieksplorasi di halaman visualisasi ini dan di halaman-halaman visualisasi graf lainnya di VisuAlgo.

Sebuah graf dengan properti-properti spesifik yang berhubungan dengan simpul-simpulnya dan/atau struktur sisi-sisinya bisa dipanggil dengan nama spesifiknya, seperti Pohon (seperti yang sekarang ditampilkan), Graf Komplet, Graf Bipartit, Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graph, DAG), dan juga yang jarang digunakan: Graf Planar, Graf Garis (Line Graph), Graf Bintang (Star Graph), Graf Roda (Wheel Graph), dsb.

Dalam visualisasi ini, kita akan menyorot empat graf-graf spesial pertama nantinya.

Graf sering sekali muncul dalam berbagai bentuk di kehidupan nyata. Bagian terpenting dari menyeesaikan masalah graf adalah bagian pemodelan graf, yaitu mereduksi masalah yang ada ke terminologi-termonologi graf: simpul-simpul, sisi-sisi, bobot-bobot, dsb.

Jaringan Sosial (Social Network): Simpul-simpul bisa merepresentasikan orang, Sisi-sisi merepresentasikan hubungan antar orang (biasanya tidak terarah dan tidak berbobot).

Contohnya, lihat graf tidak terarah yang sedang ditampilkan. Graf ini menunjukkan 7 simpul-simpul (orang-orang) dan 8 sisi-sisi (hubungan) diantara mereka. Mungkin kita bisa bertanya pertanyaan-pertanyaan seperti berikut:

1. Siapa saja teman(-teman) dari orang bernomor 0?
2. Siapa yang mempunyai paling banyak teman(-teman)?
3. Apakah ada orang yang terisolasi (orang-orang yang tidak mempunyai teman)?
4. Apakah ada teman yang sama diantara dua orang yang tidak saling mengenal: Orang nomor 3 dan orang nomor 5?
5. Dsb...

Jaringan Transportasi: Simpul-simpul bisa merepresentasikan stasiun-stasiun, sisi-sisi merepresentasikan koneksi antar stasiun (biasanya berbobot).

Contohnya, lihat graf berarah berbobot yang sedang ditampilkan. Graf ini menunjukkan 5 simpul-simpul (stasiun-stasiun/tempat-tempat) dan 6 sisi-sisi (koneksi-koneksi/jalan-jalan antar stasiun-stasiun, dengan waktu tempuh berbobot positif seperti yang tertera). Misalkan kita mengemudikan sebuah mobil. Kita mungkin bertanya apa jalur yang perlu diambil untuk pergi dari stasiun 0 ke stasiun 4 supaya kita sampai di stasiun 4 dengan menggunakan waktu yang paling sedikit?

Diskusi: Bahas beberapa skenario-skenario di kehidupan nyata lainnya yang bisa dimodelkan sebagai graf.

Anda dapat mengklik salah satu contoh graf dan melihat contoh gambar graf yang merupakan representasi dua dimensi dari graf tersebut. Perlu dicatat bahwa graf yang sama dapat memiliki (tak terhingga) banyak kemungkinan gambar graf.

Anda dapat lebih lanjut mengubah (menambah/menghapus/memposisikan ulang simpul atau menambah/mengubah bobot/menghapus tepi) graf yang sedang ditampilkan dengan mengklik "Ubah Graf" (baca pesan Bantuan terkait di jendela Ubah Graf tersebut).

Kami membatasi graf-graf yang dibahas dalam VisuAlgo adalah graf-graf sederhana (simple graphs). Lihat pembahasannya slide ini.

Kami juga membatasi jumlah simpul yang dapat Anda gambar di layar hingga 10 simpul, mulai dari simpul 0 sampai simpul 9 (karena Adjacency Matrix dari graf tersebut sudah mempunyai 10x10 = 100 sel). Ini, bersama dengan batasan graf sederhana di atas, membatasi jumlah sisi yang tidak terarah/terarah sebesar 45/90.

Pohon adalah sebuah graf terhubung dengan V simpul-simpul dan E = V-1 sisi-sisi, tidak-bersiklus (acyclic), dan memiliki satu jalur unik antara sepasang simpul. Biasanya Pohon didefinisikan pada graf tidak terarah.

Sebuah Pohon yang tidak terarah (lihat di atas) sebenarnya memiliki siklus sepele (disebabkan oleh sisi-sisi dua arahnya) tetapi tidak mengandung siklus non-sepele (berukuran 3 atau lebih). Pohon yang terarah jelas tidak-bersiklus (acyclic).

Karena Pohon hanya memiliki V-1 sisi-sisi, biasanya Pohon dianggap sebagai graf yang sparse.

Saat ini kami menunjukkan contoh U/U: Tree example. Anda dapat pergi ke 'Mode Eksplorasi' dan menggambar pohon-pohon anda sendiri.

Tidak semua Pohon-pohon memiliki tata letak gambar graf dimana simpul akar yang spesial berada diatas dan simpul-simpul daun (simpul-simpul dengan degree 1) berada dibawah. Graf (bintang) yang ditunjukkan diatas juga adalah sebuah Pohon karena graf tersebut memenuhi properti-properti dari sebuah Pohon.

Pohon dengan salah satu simpulnya ditunjuk sebagai simpul akar disebut sebagai Pohon yang berakar.

Kita selalu dapat mengubah Pohon apa pun menjadi Pohon yang berakar dengan menetapkan simpul tertentu (biasanya simpul 0) sebagai akar, dan menjalankan algoritma DFS atau BFS dari simpul akar. Proses "mengakar pohon" (dari sebuah pohon yang belum digambar secara visual) ini mempunyai penjelasan visual. Bayangkan setiap simpul adalah sebuah bola kecil (dengan berat tak nol) dan setiap simpul merupakan sebuah tali dengan panjang yang sama menghubungi dua bola bersebelahan.

Jika kita mengambil sebuah bola/simpul akar dan ditarik ke atas, gravitasi akan menarik bola-bola sisanya ke bawah, lalu bentuk pohon tersebut merupakan DFS/BFS spanning tree dari pohon tersebut.

Dalam sebuah pohon yang berakar (rooted tree), kita dapat memiliki konsep hirarki (orangtua, anak-anak, leluhur-leluhur, keturunan-keturunan), sub-pohon-pohon, tingkatan-tingkatan, dan ketinggian. Kita akan mengilustrasikan konsep-konsep ini lewat contoh-contoh karena arti-arti mereka sama seperti versi dunia nyata-nya.

1. Orang tua dari 0/1/7/9/4 adalah tidak-ada/0/1/8/3
2. Anak-anak dari 0/1/7 adalah {1,8}/{2,3,6,7}/tidak-ada,
3. Leluhur-leluhur dari 4/6/8 adalah {3,1,0}/{1,0}/{0},
4. Leluhur persekutuan terpendek dari 4 dan 6 adalah 1.
5. Keturunan-keturunan dari 1/8 adalah {2,3,4,5,6,7}/{9},
6. Sub-pohon yang berakar pada 1 termasuk 1, semua keturunan-keturunan nya, dan semua sisi-sisi yang terlibat,
7. Anggota-anggota dari tingkat 0/1/2/3 adalah {0}/{1,8}/{2,3,6,7,9}/{4,5},
8. Ketinggian dari pohon yang berakar ini adalah tingkat maksimumnya = 3.

Untuk pohon yang berakar, kita juga dapat mendefinisikan beberapa properti-properti tambahan:

Sebuah pohon biner adalah pohon yang berakar dimana sebuah simpul memiliki paling banyak dua anak yang pas dinamakan sebagai anak kiri dan kanan. Kita sering melihat bentuk ini selama diskusi Pohon Pencarian Biner dan Tumpukan Biner.

Sebuah pohon biner penuh adalah pohon biner dimana setiap simpul bukan-daun (juga disebut sebagain simpul internal) memiliki tepat dua anak. Pohon biner yang ditunjukkan diatas memenuhi kriteria ini.

Pohon biner komplet adalah pohon biner dimana setiap tingkatan terisi penuh, kecuali mungkin tingkatan terakhir mungkin terisi sisi kirinya sebisa mungkin. Kita sering melihat bentuk ini terutama dalam pembahasan tentang Tumpukan Biner.

Graf Komplet adalah sebuah graf dengan V simpul-simpul dan E = V*(V-1)/2 sisi-sisi (atau E = O(V²)), atau dengan kata lain ada sebuah sisi diantara sepasang simpul apapun. Biasanya graf Komplet dengan V simpul ditulis sebagai K_V.

Graf Komplet adalah graf sederhana yang paling padat (dense).

Saat ini kami menunjukkan contoh U/W: K₅ (Komplet). Anda bisa pergi ke 'Mode Eksplorasi' dan menggambar graf-graf komplet anda sendiri (sedikit membosankan untuk ukuran V yang besar).

Graf Bipartit adalah graf tidak terarah dengan V simpul-simpul yang bisa dipartisi menjadi dua set simpul-simpul lepas dengan ukuran m dan n dimana V = m+n. Tidak ada sisi diantara anggota-anggota di set yang sama. Graf Bipartit juga bebas dari siklus dengan panjang-ganjil.

Kami saat ini menunjukkan U/U: Bipartite example. Anda bisa pergi ke 'Mode Eksplorasi' dan menggambar graf-graf bipartit anda sendiri.

Sebuah Graf Bipartite juga bisa komplet, yaitu semua m simpul-simpul dari satu set lepas terkoneksi dengan semua n simpul-simpul dari set lepas lainnya. Ketika m = n = V/2, Graf-graf Bipartit Komplet itu juga memiliki E = O(V²).

Sebuah pohon juga merupakan sebuah graf bipartit, yakni semua simpul yang berada di ketinggian genap membentuk suatu set, dan semua simpul yang berada di ketinggian ganjil membentuk set lainnya.

Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graph, DAG) adalah graf terarah yang tidak-bersiklus, yang sangat relevan untuk teknik-teknik Pemrograman Dinamis (Dynamic Programming, DP).

Setiap DAG mempunyai setidaknya satu Urutan Topologis (Topological Sort/Order) yang bisa ditemukan dengan merubah sedikit algoritma penjelajahan graf DFS/BFS. DAG akan dibahas kembali dalam teknik DP untuk SSSP pada DAG.

Kami saat ini menunjukkan contoh D/W: Four 0→4 Paths. Anda bisa pergi ke 'Mode Eksplorasi' dan menggambar DAG-DAG anda sendiri.

Ada banyak cara untuk menyimpan informasi graf kedalam sebuah struktur data graf. Dalam visualisasi ini, kami menunjukkan tiga struktur data graf: Matriks Adjacency (Adjacency Matrix), Daftar Adjacency (Adjacency List), dan Daftar Sisi (Edge List) — masing-masing dengan kekuatan-kekuatan dan kelemahan-kelemahannya tersendiri.

Matriks Adjacency (Adjacency Matrix, AM) adalah matriks persegi dengan sel AM[i][j] menunjukkan bobot sisi dari simpul i ke simpul j. Untuk graf tidak berbobot, kita dapat menetapkan satuan berat = 1 untuk semua bobot sisi.

Kita biasanya set AM[i][j] = 0 untuk menandakan bahwa tidak ada sisi (i, j). Namu, jika graf tersebut mempunyai sisi dengan berat 0, kita harus menggunakan simbol lain untuk memberikan indikasi "tidak ada sisi" (seperti -1, None, null, dll).

Kita menggunakan C++/Python/Java larik 2D native dengan ukuran VxV untuk mengimplementasikan struktur data ini.

Analisa Kompleksitas Ruang: Sebuah AM sayangnya membutuhkan kompleksitas ruang yang besar yaitu O(V²), meskipun bila graf kita ternyata jarang (sparse) (yaitu tidak mempunyai banyak sisi-sisi).

Diskusi: Mengetahui besarnya kompleksitas ruang dari AM, kapankah saat yang tepat untuk menggunakannya? Atau apakah AM selalu adalah struktur data graf yang inferior dan selalu tidak boleh digunakan di setiap saat?

Daftar Adjacency (Adjacency List, AL) adalah sebuah larik berisi V senarai (lists), satu untuk setiap simpul (biasanya dalam nomor simpul menaik) dimana untuk setiap simpul i, AL[i] menyimpan daftar dari tetangga-tetangga i. Untuk graf-graf berbobot, kita bisa menyimpan pasangan-pasangan (nomor simpul tetangga, bobot dari sisi ini).

Kami menggunakan Vector dari Vector pair (untuk graf-graf berbobot) untuk mengimplementasikan struktur data ini.
Dalam C++: vector<vector<pair<int, int>>> AL;

Dalam Python: AL = [[] for _ in range(N)]

Dalam Java: Vector<Vector<IntegerPair>> AL;

// class IntegerPair di Java seperti pair<int, int> di C++

class IntegerPair implements Comparable<IntegerPair> {
  Integer _f, _s;
  public IntegerPair(Integer f, Integer s) { _f = f; _s = s; }
  public int compareTo(IntegerPair o) {
    if (!this.first().equals(o.first())) // this.first() != o.first()
      return this.first() - o.first();   // salah karena kita mau
    else                                 // membandingkan nilai mereka,
      return this.second() - o.second(); // bukan referensi mereka
  }
  Integer first() { return _f; }
  Integer second() { return _s; }
}
// IntegerTriple mirip dengan IntegerPair, tapi mempunyai 3 parameter

Kami menggunakan pairs karena kami butuh menyimpan sepasang informasi untuk setiap sisi: (nomor simpul tetangga, bobot sisi) dimana bobot sisi bisa di set ke 1, 0, atau tidak dipakai untuk graf tidak berbobot.

Kami menggunakan Vector dari Pair karena fitur Vector yang bisa mengubah ukurannya secara otomatis. Jika kita mempunyai k tetanga-tetangga dari sebuah simpul, kita cuma menambah k kali ke Vector dari Pair untuk simpul ini yang pada awalnya kosong (Vector ini bisa diganti dengan Senarai Berantai).

Kami menggunakan Vector dari Vector dari Pair untuk fitur indeks dari Vector, yaitu jika kita mau mengenumerasi tetangga-tetangga dari simpul u, kita menggunakan AL[u] (C++/Python) atau AL.get(u) (Java) untuk mengakses Vector dari Pair yang tepat.

Analisa Kompleksitas Ruang: AL mempunyai kompleksitas ruang sebesar O(V+E), yang adalah jauh lebih efisien daripada AM dan biasanya adalah struktur data graf default didalam hampir semua algoritma-algoritma graf.

Diskusi: AL adalah struktur data graf yang paling sering dipakai, tetapi diskusi beberapa skenario-skenario dimana AL sesungguhnya bukan struktur data graf yang terbaik?

Daftar Sisi (Edge List, EL) adalah koleksi dari sisi-sisi dengan simpul-simpul yang berhubungan dan bobot-bobotnya. Biasanya, sisi-sisi ini diurutkan berdasarkan bobot menaik, contohnya seperti di bagian algoritma Kruskal untuk masalah Pohon Perentang Terkecil (Minimum Spanning Tree, MST). Tetapi dalam visualisasi ini, kita mengurutkan sisi-sisi berdasarkan nomor simpul pertama secara menaik dan jika ada yang sama, berdasarkan nomor simpul kedua secara menarik. Catat bahwa sisi-sisi dua arah dalam graf tidak-berarah/berarah didaftarkan sekali/dua-kali.

Kita menggunakan Vector dari triples untuk mengimplementasikan struktur data ini.
Dalam C++: vector<tuple<int, int, int>> EL;

Dalam Python: EL = [] 

Dalam Java: Vector<IntegerTriple> EL; 

// class IntegerTriple di Java seperti tuple<int, int, int> di C++

Analisa Kompleksitas Ruang: EL mempunyai kompleksitas ruang sebesar O(E), yang adalah lebih efisien dari AM dan sama efisiennya dengan AL.

Diskusi: Sebutkan potensi penggunaan EL selain dalam algoritma Kruskal untuk masalah Pohon Perentang Terkecil (Minimum Spanning Tree, MST)!

Setelah menyimpan informasi graf kita didalam sebuah struktur data graf, kita dapat menjawab beberapa pertanyaan-pertanyaan sederhana.

1. Menghitung V,
2. Menghitung E,
3. Mendaftarkan tetangga-tetangga dari sebuah simpul u,
4. Mengecek keberadaan sisi (u, v), dsb.

Dalam AM dan AL, V hanyalah jumlah baris-baris di dalam struktur data yang bisa didapatkan dalam O(V) atau bahkan dalam O(1) — tergantung implementasi aktual.

Diskusi: Bagaimana cara menghitung V jika graf disimpan dalam sebuah EL?

Catatan: Kadang-kadang angka ini disimpan/dimutakhirkan di variable terpisah sehingga kita tidak harus menghitung ulang setiap kali — terutama jika graf kita tidak pernah/jarang berubah sejak dibuat, sehingga kita mendapatkan performa O(1), contohnya, kita dapat menyimpan data bahwa ada 7 simpul-simpul (dalam struktur data AM/AL/EL kita) untuk graf contoh diatas.

Didalam sebuah EL, E hanyalah jumlah dari baris-barisnya yang bisa dihitung dalam O(E) atau bahkan dalam O(1) — tergantung dengan implementasi sebenarnya. Catat bahwa tergantung kebutuhan, kita mungkin menyimpan sisi dua arah sekali saja di dalam EL tetapi di kasus lain, kita menyimpan dua sisi terarah didalam EL.

Didalam sebuah AL, E bisa ditemukan dengan menjumlahkan panjang dari semua V list dan membagi jawabannya dengan faktor 2 (untuk graf tidak terarah). Ini membutuhkan waktu komputasi O(V+E) karena setiap simpul dan setiap sisi hanya diproses sekali.

Diskusi: Bagaimana cara menghitung E jika graf nya disimpan dalam sebuah AM?

Catatan: Kadang-kadang angka ini disimpan/dimutakhirkan di variable terpisah untuk efisiensi, contohnya kita bisa menyimpan bahwa ada 8 sisi tidak terarah (di struktur data AM/AL/EL kita) untuk graf contoh yang ditampilkan diatas.

Didalam sebuah AM, kita butuh untuk menelusuri seluruh kolom-kolom dari AM[u][j] ∀j ∈ [0..V-1] dan melaporkan pasangan dari (j, AM[u][j]) jika AM[u][j] tidak nol. Ini adalah O(V) — lambat.

Didalam sebuah AL, kita hanya perlu menelusuri AL[u]. Jika hanya ada k tetangga-tetangga dari simpul u, maka kita hanya perlu O(k) untuk mengenumerasi mereka — ini disebut kompleksitas waktu yang sensitif-terhadap-keluaran dan sudah merupakan yang terbaik.

Kita biasanya mendaftarkan tetangga-tetangga dalam nomor simpul menaik. Contohnya, tetangga-tetangga dari simpul 1 di graf contoh diatas adalah {0, 2, 3}, dengan urutan nomor simpul menaik.

Diskusi: Bagaimana caranya melakukan ini bila grafnya disimpan dalam sebuah EL?

Dalam sebuah AM, kita dapat mengecek apakah AM[u][v] adalah nol. Ini adalah O(1) — yang paling cepat.

Dalam sebuah AL, kita harus mengecek apakah AL[u] berisi simpul v atau tidak. Ini adalah O(k) — lebih lambat.

Contohnya, simpul (2, 4) ada di graf contoh diatas tetapi simpul (2, 6) tidak ada.

Catat bahwa jika kita telah menemukan simpul (u, v), kita juga dapat mengakses dan/atau memutakhirkan bobotnya.

Diskusi: Bagaimana untuk melakukan ini bila grafnya disimpan dalam sebuah EL?

Quiz: So, what is the best graph data structure?

Diskusi: Kenapa?

Anda telah mencapai akhir dari materi-materi dasar dari Struktur-struktur Data Graf yang cukup mudah ini dan kami menyemangati anda untuk mengeksplorasi lebih jauh di Mode Eksplorasi dengan menggambar graf-graf anda sendiri, atau dengan memasukkan sebuah daftar sisi/tatriks adjacency/daftar adjacency dan VisuAlgo akan menggambarkan sebuah graf yang "cukup baik" berdasarkan masukan anda.

Tetapi, kami masih mempunyai beberapa tantangan Struktur-struktur Data Graf menarik untuk anda yang dibahas di bagian ini.

Catat bahwa struktur-struktur data graf biasanya cuma bagian yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk menyelesaikan masalah-masalah graf yang lebih susah seperti MST, SSSP, MF, Matching, MVC, ST, atau TSP.

Untuk beberapa pertanyaan-pertanyaan menarik tentang struktur data ini, silahkan latihan di modul latihan Struktur Data Graf.

Cobalah selesaikan dua masalah-masalah pemrograman dasar yang membutuhkan penggunaan struktur data graf tanpa algoritma-algoritma graf apapun:

1. UVa 10895 - Matrix Transpose dan,
2. Kattis - flyingsafely.

Terakhir, terdapat beberapa graf yang terstruktur dengan bagus sehingga kita tidak perlu menyimpan graf-graf itu ke dalam struktur data graf apapun yang sudah dibahas.

Contohnya, sebuah graf komplet tak berbobot bisa disimpan dengan satu bilangan V, yakni banyaknya simpul karena sebuah graf komplet mempunyai sebuah sisi di antara sembarang dua simpul, sehingga kita bisa membangun ulang semua V * (V-1) / 2 sisi dengan mudah.

Diskusi: Apakah anda dapat menunjukkan beberapa graf implisit lainnya?