7    VisuAlgo.net / /sssp Login Jarak Terpendek Sumber-Tunggal
Mode Eksplorasi ▿

>

>
pelan
cepat
go to beginning previous frame pause play next frame go to end

Pada masalah Jarak Terpendek Sumber-Tunggal (Single-Source Shortest Paths, SSSP), kita bertujuan untuk menemukan bobot jalur-jalur terpendek dari sebuah simpul sumber-tunggal (dan juga jalur-jalur tersebut) ke semua simpul lainnya dalam sebuah graf terarah dan berbobot (bila jalur-jalur tersebut ada).


Masalah SSSP adalah sebuah masalah Ilmu Komputer (Computer Science, CS) yang umum-diketahui sehingga semua murid-murid CS di seluruh dunia perlu tahu dan semoga kuasai.

Masalah SSSP memiliki beberapa algoritma-algoritma berbeda yang efisien (dalam waktu polinomial) (seperti Bellman Ford, BFS, DFS, Dijkstra - 2 Versi, dan/atau Pemrograman Dinamis) yang dapat digunakan berdasarkan sifat dari graf masukan terarah dan berbobot tersebut, misalkan berbobot/tidak berbobot, dengan/tanpa siklus/sisi berbobot negatif, atau secara struktur spesial (sebuah Pohon/sebuah DAG).

Remarks: By default, we show e-Lecture Mode for first time (or non logged-in) visitor.
Please login if you are a repeated visitor or register for an (optional) free account first.

X Esc
Berikut PgDn

SSSP adalah salah satu masalah graf yang paling sering dijumpai di kehidupan nyata. Setiap kali kita mau berpindah dari satu tempat (biasanya posisi kita sekarang) ke tempat lain (tujuan kita), kita akan berusaha untuk memilih jalur yang pendek — kalau bisa yang terpendek.


Algoritma(-algoritma) SSSP tertanam didalam perangkat lunak peta seperti Google Maps dan didalam berbagai alat Global Positioning System (GPS).


Pro-tip: Since you are not logged-in, you may be a first time visitor who are not aware of the following keyboard shortcuts to navigate this e-Lecture mode: [PageDown] to advance to the next slide, [PageUp] to go back to the previous slide, [Esc] to toggle between this e-Lecture mode and exploration mode.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Masukan 1: Sebuah graf terarah berbobot G(V, E), tidak harus terhubung, dimana V/simpul-simpul bisa digunakan untuk mendeskripsikan vertices can be used to describe persimpangan, rumah, tempat terkenal, dsb dan E/sisi-sisi bisa digunakan untuk mendeskripsikan jalan(-jalan) dengan arah tertentu dan bobot/biaya.


Masukan 2: Seperti namanya, masalah SSSP memiliki masukan lain: Sebuah simpul sumber sV.


Another pro-tip: We designed this visualization and this e-Lecture mode to look good on 1366x768 resolution or larger (typical modern laptop resolution in 2017). We recommend using Google Chrome to access VisuAlgo. Go to full screen mode (F11) to enjoy this setup. However, you can use zoom-in (Ctrl +) or zoom-out (Ctrl -) to calibrate this.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Tujuan dari masalah SSSP adalah untuk menemukan bobot jalur terpendek dari s ke setiap simpul uV, yang dilambangkan sebagai δ(s, u) (δ dibaca sebagai 'delta') dan juga jalur terpendek yang sesungguhnya dari s ke u.


Bobot jalur dari jalur p secara sederhana adalah penjumlahan dari bobot-bobot sisi sepanjang jalur tersebut.


Bobot dari jalur terpendek dari s ke s adalah sepele: 0.
Bobot dari jalur terpendek dari s ke simpul yang tidak terjangkau juga sepele: +∞.


Catatan: Bobot dari jalur terpendek dari s ke v dimana (s, v) ∈ E tidak harus selalu adalah bobot dari w(s, v). Lihat beberapa slide berikutnya untuk menyadari hal ini.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Keluaran-keluaran dari semua enam (6) algoritma-algoritma SSSP untuk masalah SSSP yang didiskusikan dalam visualisasi ini adalah kedua larik/Vector berikut:

  1. Sebuah larik/Vector D dengan ukuran V (D adalah 'distance' atau 'jarak')
    Pada awalnya, D[u] = 0 jika u = s; kalau tidak D[u] = +∞ (angka besar seperti 109)
    D[u] berkurang ketika kita menemukan jalur-jalur yang lebih baik (lebih pendek)
    D[u]δ(s, u) sepanjang eksekusi dari algoritma SSSP
    D[u] = δ(s, u) pada akhir algoritma SSSP
  2. Sebuah larik/Vector p dengan ukuran V (p adalah 'parent'/'predecessor'/'previous')
    p[u] = pendahulu dari jalur terbaik dari sumber s ke u
    p[u] = NULL (tidak didefinisikan, kita bisa menggunakan nilai seperti -1 untuk ini)
    Larik/Vector p ini mendeskripsikan pohon perentang SSSP yang dihasilkan
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Pada awalnya, D[u] = +∞ (secara praktis, nilai yang besar seperti 109) ∀uV\\{s}, tetapi D[s] = D[0] = 0.
Pada awalnya, p[u] = -1 (untuk mengatakan 'tidak ada pendahulu') ∀uV.


Sekarang klik Dijkstra(0) — tidak perlu pusing dengan detil karena akan dijelaskan nanti — dan tunggu sampai selesai (sekitar 10 detik pada graf kecil ini).


Pada akhir algoritma SSSP, D[s] = D[0] = 0 (tidak berubah) dan D[u] = δ(s, u)uV
yaitu D[2] = 6, D[4] = 7 (nilai ini disimpan sebagai teks merah dibawah setiap simpul).
Pada akhir algoritma SSSP, p[s] = p[0] = -1 (sumber tidak mempunyai pendahulu), tetapi p[v] = permulaan dari sisi-sisi oranye untuk sisanya, yaitu p[2] = 0, p[4] = 2.


Oleh karena itu, jika kita ada di s = 0 dan mau pergi ke simpul 4, kita akan menggunakan jalur terpendek 0 → 2 → 4 dengan bobot jalur 7.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Beberapa graf memiliki sisi(-sisi) berbobot negatif (tidak harus bersiklus) dan/atau siklus(-siklus) berbobot negatif. Contohnya (fiksi): Misalkan anda dapat berjalan maju dalam waktu (normal, sisi-sisi dengan bobot positif) atau mundur dalam waktu dengan melalui terowongan waktu (sisi-sisi wormhole spesial dengan bobot negatif), seperti yang ditunjukkan diatas.


Pada graf tersebut, jalur-jalur terpendek dari simpul sumber s = 0 ke simpul-simpul {1, 2, 3} semuanya tidak-jelas. Contohnya 1 → 2 → 1 adalah sebuah siklus berbobot negatif karena memiliki bobot total jalur (siklus) negatif sebesar 15-42 = -27. Oleh karena itu kita bisa berputar-putar didalam siklus berobot negatif 0 → 1 → 2 → 1 → 2 → ... selamanya untuk mendapatkan bobot jalur terpendek yang tidak-jelas sebesar -∞.


Tetapi, sadari bahwa jalur terpendek dari simpul sumber s = 0 ke simpul 4 sebenarnya ok dengan δ(0, 4) = -99. Jadi keberadaan sisi(-sisi) berbobot negatif bukanlah isu utama. Isu utama adalah keberadaan siklus(-siklus) berbobot negatif yang bisa terjangkau dari simpul sumber s.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Operasi utama untuk semua algoritma-algoritma SSSP yang dibahas di visualisasi ini adalah operasi relax(u, v, w(u, v)) dengan pseudo-code sebagai berikut:

relax(u, v, w_u_v)
if D[v] > D[u]+w_u_v // if jalurnya bisa diperpendek
D[v] = D[u]+w_u_v // kita 'relax' sisi ini
p[v] = u // ingat/mutakhirkan pendahulu
// mutakhirkan struktur data lainnya seperlunya

Contohnya, lihat operasi relax(1,2,4) di gambar dibawah: relax operation example

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Ada dua sumber berbeda untuk menggambar graf masukan:

  1. Gambar Graf: Anda dapat menggambar graf terarah berbobot apa saja sebagai graf masukan.
  2. Graf-Graf Contoh: Anda dapat memilih dari daftar graf-grafa contoh yang kami sediakan sebagai titik permulaan. Graf-Graf contoh ini mempunyai karakteristik-karakteristik yang berbeda.
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Dalam visualisasi ini, kita akan membahas 6 (ENAM) algoritma-algoritma SSSP.


Kita akan mulai dengan algoritma O(V×E) Bellman Ford terlebih dahulu karena algoritma ini adalah algoritma SSSP yang paling serba guna (tetapi juga terlambat). Kita lalu akan membahas 5 (LIMA) algoritma-algoritma lainnya (termasuk dua varian dari algoritma Dijkstra) yang menyelesaikan kasus-kasus spesial dari masalah-masalah SSSP dalam waktu yang jauh lebih cepat.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Algoritma Bellman Ford yang serba guna dapat digunakan untuk menyelesaikan seluruh varian masalah SSSP yang valid (kecual satu — yang tidak jelas, akan dibahas segera), meskipun waktu yang cukup lambat O(V×E). Algoritma ini juga memiliki pseudo-code yang sangat sederhana:

for i = 1 to |V|-1 // O(V) here, so O(V×E×1) = O(V×E)
for each edge(u, v) ∈ E // O(E) here, e.g. by using an Edge List
relax(u, v, w(u, v)) // O(1) here

Tanpa basa-basi lagi, mari lihat sekilas bagaimana algoritma ini bekerja pada graf contoh diatas dengan mengklik BellmanFord(0) (≈30s, dan untuk saat ini, tolong abaikan loop tambahan yang ada di bagian bawah dari pseudo-code).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Algoritma Bellman Ford bisa dibuat untuk berjalan sedikit lebih cepat pada graf masukan normal, dari kasus terjelek O(V×E) ke hanya (k×E) dimana k adalah jumlah iterasi dari loop luar Bellman Ford.


Diskusi: Bagaimana caranya melakukan ini? Apakah percepatan ini signifikan?

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

e-Lecture: The content of this slide is hidden and only available for legitimate CS lecturer worldwide. Drop an email to visualgo.info at gmail dot com if you want to activate this CS lecturer-only feature and you are really a CS lecturer (show your University staff profile).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Untuk meyakinkan pembaca diseluruh dunia bahwa algoritma Bellman Ford benar, mari sementara berpindah dari mode visualisasi ke mode pembuktian pada beberapa slide selanjutnya.


Teorema 1: Jika G = (V, E) tidak memiliki siklus berbobot negatif, maka jalur terpendek p dari simpul sumber s ke sebuah simpul v pastilah sebuah jalur sederhana.


Ingat: Sebuah jalur sederhana adalah sebuah jalur p = {v0, v1, v2, ..., vk}, (vi, vi+1) ∈ E, ∀ 0 ≤ i ≤ (k-1) dan tidak ada simpul yang diulang sepanjang jalur ini.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
  1. Misalkan jalur terpendek p bukanlah jalur sederhana
  2. Maka p haruslah memiliki satu (atau lebih) siklus(-siklus) (oleh karena definisi dari jalur yang tidak-sederhana)
  3. Misalkan ada siklus c dalam p dengan bobot positif (yaitu hijaubiruhijau pada gambar di sisi kiri) cycle
  4. Jika kita menghapus c dari p, maka kita akan memiliki 'jalur terpendek' yang lebih pendek daripada jalur terpendek p kita
  5. Sebuah kontradiksi yang jelas sekali, maka p pastilah sebuah jalur sederhana
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
  1. Meskipun jika c sebenarnya adalah sebuah siklus dengan bobot total nol (0) — ini memungkinkan menurut asumsi Teorema 1 kita: tidak ada siklus berbobot negatif (lihat hijaubiruhijau yang sama tetapi pada gambar di sisi kanan), kita tetap bisa menghapus c dari p tanpa menambah bobot jalur terpendek dari p cycle
  2. Secara kesimpulan, p adalah jalur sederhana (dari poin no 5) atau selalu bisa dijadikan jalur sederhana (dari poin 6)

Dengan kata lain, jalur terpendek p memiliki paling banyak |V|-1 sisi-sisi dari simpul sumber s ke simpul 'yang paling jauh' v dalam G (mengenai jumlah sisi-sisi pada jalur terpendek — lihat contoh Bellman Ford's Killer diatas).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Teorema 2: Jika G = (V, E) tidak memiliki siklus berbobot negatif, maka setelah algoritma Bellman Ford berhenti, kita akan mempunyai D[v] = δ(s, u), ∀ uV.


Untuk ini, kita akan menggunakan Pembuktian Induksi (Proof by Induction) dan inilah poin-poin awalnya:


Pertimbangkan jalur terpendek p dari simpul sumber s ke simpul vi dimana vi didefinisikan sebagai sebuah simpul dimana jalur terpendek sesungguhnya untuk mencapai simpul tersebut membutuhkan i loncatan (sisi) dari simpul sumber s. Ingat kembali dari Teorema 1 bahwa p adalah sebuah jalur sederhana karena kita memiliki asumsi yang sama tentang tidak adanya siklus berbobot negatif.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
  1. Pada awalnya, D[v0] = δ(s, v0) = 0, karena v0 adalah simpul sumber s
  2. Setelah 1 pass melalui E, kita punya D[v1] = δ(s, v1)
  3. Setelah 2 pass melalui E, kita punya D[v2] = δ(s, v2)
  4. ...
  5. Setelah k pass melalui E, kita punya D[vk] = δ(s, vk)
  6. Ketika tidak ada siklus berbobot negatif, jalur terpendek p adalah jalur sederhana (lihat Teorema 1), maka iterasi terakhir adalah iterasi |V|-1
  7. Setelah |V|-1 pass melalui E, kita punya D[v|V|-1] = δ(s, v|V|-1), tidak memperdulikan pengurutan sisi-sisi dalam E — lihat contoh Bellman Ford's Killer diatas
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Cobalah jalankan BellmanFord(0) pada contoh 'Bellman Ford's Killer' diatas. Ada V = 7 simpul-simpul dan E = 6 sisi-sisi tetapi daftar sisi E dikonfigurasikan dengan urutan yang paling jelek. Sadari bahwa setelah (V-1)×E = (7-1)*6 = 36 operasi-operasi (~40s, sabarlah), Bellman Ford akan berhenti dengan jawaban yang benar dan tidak mungkin kita bisa memberhentikan algoritma Bellman Ford lebih cepat.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Satu-satunya graf masukan yang algoritma Bellman Ford memiliki isu adalah graf masukan dengan siklus berbobot negatif yang terjangkau dari simpul sumber s.


Tetapi, Bellman Ford dapat digunakan untuk mendeteksi apabila graf masukan memiliki setidaknya satu siklus berbobot negatif yang terjangkau dari simpul sumber s dengan menggunakan akibat wajar dari Teorema 2: Jika setidaknya satu nilai D[v] gagal converge setelah |V|-1 pass, maka pastilah ada siklus berbobot-negatif yang terjangkau dari simpul sumber s.


Sekarang jalankan BellmanFord(0) pada graf contoh yang memiliki sisi-sisi negatif dan sebuah siklus negatif. Silahkan konsentrasi pada loop dibawah pseudo-code.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Kadang-kadang, masalah sebenarnya yang kita hadapi bukanlah bentuk umum dari masalah orisinalnya. Oleh karena itu dalam Kuliah Maya ini, kami mau menyorot lima (5) kasus-kasus spesial berhubungan dengan masalah SSSP. Ketika kita berhadapan dengan salah satu dari mereka, kita bisa menyelesaikannya dengan algoritma berbeda dan (jauh) lebih cepat dibandingkan dengan algoritma generik O(V×E) Bellman Ford. Mereka adalah:

  1. Pada Graf-Graf Tidak-Berbobot: O(V+E) BFS,
  2. Pada Graf-Graf tanpa bobot negatif: O((V+E) log V) algoritma Dijkstra,
  3. Pada Graf-Graf tanpa siklus berbobot negatif: O((V+E) log V) Dijkstra dengan Modifikasi,
  4. Pada Pohon: O(V+E) DFS/BFS,
  5. Pada Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graphs, DAG): O(V+E) Pemrograman Dinamis (Dynamic Programming, DP)
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Algoritma O(V+E) Breadth-First-Search (BFS) dapat menyelesaikan kasus spesial dari masalah SSSP, yaitu ketika graf masukannya tidak berbobot (seluruh sisi memiliki bobot 1, coba BFS(5) pada contoh 'CP3 4.3' diatas) atau berbobot konstan positif (semua sisi memiliki bobot konstan yang sama, yaitu anda dapat mengubah semua bobot-bobot sisi dari graf contoh diatas dengan bobot konstan positif pilihan anda).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Ketika grafnya tidak-berbobot — ini muncul cukup sering dalam kehidupan nyata — masalah SSSP dapat dilihat sebagai sebuah masalah untuk mencari jumlah sisi-sisi tersedikit yang dikunjungi dari simpul sumber s ke simpul-simpul lainnya.


Pohon perentang BFS dari simpul sumber s yang diproduksi oleh algoritma O(V+E) BFS yang cepat — sadari simbol + — secara cocok memenuhi kebutuhan.


Bandingkan dengan O(V×E) dari Bellman Ford — sadari simbol × — adalah tepat untuk menggunakan BFS untuk kasus spesial dari masalah SSSP ini.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Dibandingkan dengan BFS standar dalam modul Penjelajahan Graf, kita melakukan modifikasi-modifikasi sederhana untuk membuat BFS bisa menyelesaikan versi tidak berbobot dari masalah SSSP:

  1. Pertama, ubah larik Boolean visited menjadi sebuah larik Bilangan Bulat D.
  2. Pada awal BFS, daripada mengeset visited[u] = false, kita mengeset D[u] = 1e9 (sebuah angka yang besar untuk menyimbolkan +∞ atau bahkan -1 untuk menyimbolkan status 'belum dikunjungi', tetapi kita tidak bisa menggunakan 0 karena D[0] = 0) ∀uV\\{s}; Lalu kita mengeset set D[s] = 0
  3. Kita mengubah loop utama dari BFS dari
    if (visited[v] = 0) { visited[v] = 1 ... } // v belum dikunjungi
    ke
    if (D[v] = 1e9) { D[v] = D[u]+1 ... } // v = 1 langkah dari u
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Tetapi, BFS akan sangat mungkin memberikan jawaban salah ketika dijalankan pada graf berbobot karena BFS tidak didesain untuk menyelesaikan versi berbobot dari masalah SSSP. Mungkin ada kasus dimana mengambil jalur dengan jumlah sisi-sisi yang lebih banyak memproduksi bobot jalur total yang lebih rendah daripada mengambil jalur dengan jumlah sisi-sisi paling sedikit — yang adalah keluaran dari algoritma BFS.


Dalam visualisasi ini, kami akan mengijinkan anda untuk menjalankan BFS bahkan pada graf masukan yang 'salah' untuk alasan pedagogis, tetapi kami akan menampilkan pesan peringatan di akhir algoritma. Contohnya, coba BFS(0) pada graf umum diatas dan anda akan melihat bahwa simpul-simpul {3,4} akan memiliki nilai-nilai D[3] dan D[4] yang salah (dan juga nilai-nilai p[3] dan p[4]).


Kita akan segera melihat algoritma Dijkstra (2 varian implementasi) untuk menyelesaikan masalah-masalah SSSP tertentu jauh lebih cepat daripada algoritma Bellman Ford yang lebih umum.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
Algoritma O((V+E) log V) Dijkstra orisinal adalah algoritma SSSP yang paling sering digunakan untuk input yang khas: Sebuah graf berbobot dan berarah yang tidak memiliki edge berbobot negatif sama sekali (yang biasanya ditemukan dalam kehidupan nyata, coba Graf Contoh: CP3 4.17, Pembunuh Algoritma Bellman Ford, DAG).

Ketika input memiliki edge berbobot negatif, Dijkstra versi original dapat menghasilkan jawaban yang salah (coba Contoh: CP3 4.18, Pembunuh Algoritma Dijkstra).

Algoritma Dijkstra dapat juga diimplementasikan dengan cara berbeda. Algoritma O((V+E) log VDijkstra modifikasi dapat digunakan untuk graf berbobot dan berarah yang memiliki edge berbobot negatif, namun tidak memiliki siklus berbobot negatif (coba Contoh: CP3 4.18, namun sangatlah lambat pada Pembunuh Algoritma Dijkstra). Algoritma ini juga akan terperangkap dalam pengulangan tak hingga untuk graf berarah dan berbobot yang memiliki setidaknya satu siklus berbobot negatif yang dapat dijangkau dari simpul sumber (coba Contoh: CP3 4.19).
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Algoritma Dijkstra menjaga sebuah set S (Solved/terselesaikan) dari simpul-simpul yang dimana bobot-bobot jalur terpendek finalnya sudah ditentukan. Pada awalnya S = {s}, simpul sumber s saja.


Lalu, algoritma ini secara berulang memilih simpul u dalam {V\\S} dengan estimasi jarak terpendek minimum, menambahkan u ke S, dan merelaksasi semua sisi-sisi keluar dari u.


Ini memerlukan penggunaan sebuah Antrean Berprioritas (Priority Queue) karena estimasi-estimasi jarak terpendek berubah-ubah terus saat lebih banyak lagi sisi-sisi diproses. Keputusan untuk merelaksasi sisi-sisi keluar yang berasal dari simpul dengan estimasi jarak terpendek minimum adalah rakus (greedy), yaitu gunakan "yang terbaik sejauh ini", tetapi kita akan lihat nanti bahwa bisa dibuktikan bahwa strategi ini pada akhirnya berakhir dengan hasil yang optimal — jika grafnya tidak memiliki sisi berbobot negatif.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Dalam algoritma Dijkstra, setiap simpul hanya akan diekstrak dari Antrean Berprioritas (Priority Queue, PQ) sekali saja. Karena ada V sisi-sisi, kita akan melakukan ini paling banyak O(V) kali.


Operasi EkstrakMin() berjalan dalam O(log V) tidak masalah apakah PQnya diimplementasikan menggunakan sebuah Timbunan Biner Minimum atau menggunakan sebuah BST seimbang seperti Pohon AVL.


Oleh karena itu, bagian ini adalah O(V log V).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Setiap kali sebuah simpul diproses, kita merelaksasi tetangga-tetangganya. Secara total, E sisi-sisi diproses.


Jika dengan merelaksasi sisi(u, v), kita harus menurunkan D[v], kita akan memanggil operasi O(log V) DecreaseKey() dalam Timbunan Biner Minimum (susah untuk diimplementasikan karena C++ STL priority_queue/Java PriorityQueue saat ini tidak mendukung operasi ini secara efisien) atau secara sederhana hapus dat lama dan masukkan ulang data baru dalam BST seimbang seperti Pohon AVL (yang juga berjalan dalam O(log V), tetapi ini jauh lebih mudah untuk diimplementasikan, cukup gunakan C++ STL set/Java TreeSet).


Oleh karena itu, bagian ini adalah O(E log V).


Jadi secara keseluruhan, algoritma Dijkstra berjalan dalam waktu O(V log V + E log V) = O((V+E) log V), yang adalah jatuh lebih cepat daripada algoritma O(V×E) Bellman Ford.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

e-Lecture: The content of this slide is hidden and only available for legitimate CS lecturer worldwide. Drop an email to visualgo.info at gmail dot com if you want to activate this CS lecturer-only feature and you are really a CS lecturer (show your University staff profile).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Ketika graf masukan memiliki setidaknya satu sisi berbobot negatif — tidak harus siklus berbobot negatif — algoritma Dijkstra bisa menghasilkan jawaban yang salah.


Cobalah Dijkstra(0) pada salah satu dari Graf-Graf Contoh: CP3 4.18.


Pada akhir eksekusi dari algoritma Dijkstra, simpul 4 memiliki nilai D[4] yang salah karena algoritmanya 'salah' pada awalnya berpikir bahwa sub-jalur 0 → 1 → 3 adalah sub-jalur yang lebih baik dengan bobot 1+2 = 3, oleh karenanya membuat D[4] = 6 setelah memanggil relax(3,4,3). Tetapi, keberadaan bobot negatif -10 pada sisi 2 → 3 membuat sub-jalur yang lain 0 → 2 → 3 pada akhirnya adalah sub-jalur yang lebih baik dengan bobot 10-10 = 0 meskipun sub-jalur ini mulai dengan lebih jelek karena bobot jalurnya 10 setelah sisi pertama 0 → 2. Nilai D[3] = 0 yang lebih baik tidak pernah disebarkan lebih lanjut karena natur rakus (greedy) dari algoritma Dijkstra, oleh karenanya D[4] menjadi salah.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Algoritma Dijkstra juga bisa diimplementasikan dengan berbeda. Algoritma O((V+E) log V) Dijkstra Termodifikasi bisa digunakan untuk graf-graf terarah berbobot yang mungkin memiliki sisi-sisi berbobot negatif tetapi tidak ada siklus berbobot negatif.


Graf masukan seperti itu terdapat pada beberapa kasus-kasus praktis, misalkan bepergian dengan mobil elektrik yang memiliki batere dan tujuan kita adalah untuk menemukan jalur dari simpul sumber s ke simpul lain yang meminimalkan penggunaan batere secara umum. Seperti biasa, pada akselerasi (atau menyetir di jalan yang rata/menaik), mobil elektrik menggunakan energi (positif) dari batere. Tetapi, pada pengereman (atau menyeter pada jalan menurun), mobil elektrik mengisi ulang energi (atau menggunakan energi negatif) ke batere. Tidak ada siklus berbobot negatif karena hilangnya energi kinetik.


Contohnya, cobalah ModifiedDijkstra(0) pada salah satu dari Graf-Graf Contoh: CP3 4.18 yang telah membuat algoritma Dijkstra versi asli bermasalah (lihat slide sebelumnya).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Ide kuncinya adalah modifikasi yang dilakukan kepada C++ STL priority_queue/Java PriorityQueue untuk menginjikannya melakukan operasi 'DecreaseKey' secara efisien, yaitu dalam waktu O(log V).


Teknik ini disebut 'Pemutakhiran Malas (Lazy Update)' dimana kita meninggalkan 'informasi yang kadaluarsa/lebih lemah/bernilai lebih besar' didalam Antrean Berprioritas minimum daripada menghapusnya langsung. Karena item-item terurut dari nilai-nilai yang lebih kecil ke nilai-nilai yang lebih besar didalam sebuah PQ minimum, kita mengaransi diri sendiri bahwa kita akan menjumpai item yang paling kecil/paling mutakhir terlebih dahulu sebelum menjumpai item(-item) yang lebih lemah/kadaluarsa nantinya - yang bisa dengan mudah tidak diperdulikan.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Pada graf-graf berbobot tidak-negatif, perilaku dari implementasi Dijkstra termodifikasi tepat sama dengan versi orisinal Dijkstra jadi kita bisa menggunakan analisa kompleksitas waktu yang sama yaitu O((V+E) log V).


Tetapi, jika grafnya memiliki setidaknya satu sisi berbobot negatif, analisanya lebih susah.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Ketika graf masukan memiliki setidaknya satu sisi berbobot negatif tetapi tidak ada siklus berbobot negatif — algoritma Dijkstra termodifikasi menghasilkan jawaban yang benar.


Cobalah ModifiedDijkstra(0) pada satu dari Graf-Graf Contoh: CP3 4.18 yang menyebabkan masalah untuk Dijkstra(0).


Pada akhir dari eksekusi algoritma ModifiedDijkstra, simpul 4 memiliki nilai D[4] yang benar karena meskipun algoritma Dijkstra termodifikasi juga mulai dengan 'salah' dengan menganggap sub-jalur 0 → 1 → 3 adalah sub-jalur yang lebih baik dengan bobot 1+2 = 3, sehingga membuat D[4] = 6 setelah memanggil relax(3,4,3). Disini, algoritma Dijkstra termodifikasi terus menyebarkan D[3] = 0 setelah algoritma ini menemukan bahwa sub-jalur lain 0 → 2 → 3 sebenarnya adalah sub-jalur yang lebih baik dengan bobot 10-10 = 0. Maka D[4] akhirnya benar kembali. Tetapi, algoritma ini ada kemungkinan menjalankan (jauh lebih banyak) operasi daripada O((V+E) log V).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Sayangnya, menjalankan ModifiedDijkstra(0) pada graf dengan siklus berbobot negatif seperti yang ditunjukkan pada salah satu Graf-Graf Contoh: CP3 4.17 diatas akan menyebabkan loop yang tidak berakhir (animasinya sangat panjang tetapi kami membatasi jumlah loop sebesar 100 sisi-sisi yang diproses supaya web browser anda tidak hang).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Coba ModifiedDijkstra(0) pada contoh kasus sudut ekstrim diatas yang sangat susah untuk dibuat tanpa pengertian yang mendalam tentang algoritma ini dan yang adalah bagian dari tugas Asia Pacific Informatics Olympiad (APIO) 2013 yang dibuat oleh Steven.


Algoritma ModifiedDijkstra akan berhenti dengan jawaban yang benar, tetapi hanya setelah menjalankan operasi-operasi yang berjumlah eksponensial (setiap segitiga yang dibuat dengan hati-hati menaikkan jumlah operasi-operasi yang dibutuhkan dengan satu lagi pangkat dua). Oleh karena itu, kita tidak bisa secara prematur menghentikan ModifiedDijkstra pada situasi masukan kasus terjelek ini.


Tetapi, kasus sudut ekstrim seperti ini sangat jarang sehingga pada prakteknya, algoritma Dijkstra termodifikasi bisa digunakan pada graf-graf terarah yang memiliki beberapa sisi-sisi berbobot negatif sepanjang graf tersebut tidak memiliki siklus berbobot negatif yang terjangkau dari simpul sumber s.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Algoritma O(V+E) Depth-First-Search (DFS) dapat menyelesaikan kasus spesial dari masalah SSSP, yaitu ketika graf masukannya adalah sebuah pohon (berbobot).


Dalam sebuah Pohon, hanya ada satu jalur unik dan tidak-bersiklus yang menghubungkan dua simpul yang berbeda. Sehingga jalur unik yang menghubungkan simpul sumber s ke simpul lain uV sebernarnya juga adalah jalur terpendek. Contohnya, coba DFS(0) pada Pohon diatas.


Catat bahwa untuk sebuah Pohon (berbobot), kita juga dapat menggunakan BFS. Contohnya, coba BFS(0) pada Pohon yang sama diatas.


Diskusi: Kenapa DFS (dan juga BFS) berjalan dalam O(V) dan bukan dalam O(V+E) jika masukannya adalah sebuah Pohon (berbobot)?

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

e-Lecture: The content of this slide is hidden and only available for legitimate CS lecturer worldwide. Drop an email to visualgo.info at gmail dot com if you want to activate this CS lecturer-only feature and you are really a CS lecturer (show your University staff profile).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

DFS sangat mungkin menghasilkan jawaban yang salah ketika dijalankan pada graf lain yang bukan Pohon. Kami akan menampilkan pesan peringatan untuk kasus-kasus tersebut meskipun kami tidak melarang anda untuk mencoba fitur ini untuk alasan pedagogis.


Contohnya, coba DFS(0) pada graf umum diatas dan anda akan melihat bahwa simpul {4} akan memiliki nilai D[4] yang salah (dan juga nilai p[4] yang salah) karena DFS(0) pergi kedalam 0 → 1 → 3 → 4 dahulu, kembali ke simpul 0 dan lalu mengunjungi 0 → 2 tetapi sisi 2 → 4 tidak bisa diproses karena simpul 4 sudah dikunjungi oleh DFS sebelumnya.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Algoritma O(V+E) Pemrograman Dinamis (Dynamic Programming) dapat menyelesaikan kasus spesial dari masalah SSSP, yaitu ketika graf masukannya adalah sebuah Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acylic Graph, DAG), sehingga kita dapat menemukan setidaknya satu urutan topologis dari DAG tersebut dan memproses relaksasi sisi berdasarkan urutan topologis tersebut.


Contohnya, coba DP(0) pada contoh DAG diatas. Pertama-tama, algoritma ini menghitung satu (ada yang lain) kemungkinan urutan topologis dengan menggunakan O(V+E) DFS atau BFS/algoritma Kahn yang dijelaskan di modul Penjelajahan Graf. Contohnya, misalkan satu urutan topologis adalah {0,2,1,3,4,5}. Maka, algoritma ini akan merelaksasi sisi-sisi keluar dari simpul-simpul yang terdaftar di urutan topologis tersebut. Setelah dalam satu O(V+E) iterasi, kita akan mendapatkan nilai-nilai D[u] yang benar ∀uV.
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Pada contoh Modified Dijkstra's killer diatas, DP(0) bekerja dengan cepat karena graf tersebut sebenarnya adalah sebuah DAG, meskipun memiliki sisi berbobot negatif. Karena grafnya adalah DAG, maka tidak akan ada siklus berbobot negatif yang perlu diperhatikan.


Tetapi, DP tidak akan bekerja untuk graf yang bukan DAG karena graf yang bukan DAG memiliki setidaknya satu siklus dan oleh karena itu tidak ada urutan topologis yang bisa ditemukan didalam siklus tersebut.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Algoritma DP untuk menyelesaikan SSSP pada DAG juga disebut sebagai algoritma Bellman Ford satu-pass karena algoritma tersebut mengganti V-1 loop paling luar (kita tidak tahu urutan yang benar jadi kita ulangi saja sampai yang paling maksimum) dengan hanya satu pass urutan topologis (kita tahu bahwa ini adalah (salah satu) dari urutan(-urutan) yang benar dari DAG ini).


Bandingkan DP(0) (relaksasi E sisi-sisi sekali saja — menurut urutan topologis dari sisi-sisinya) dibandingkan dengan BellmanFord(0) (relaksasi E sisi-sisi dalam urutan acak, sebanyak V-1 kali) pada DAG contoh yang sama diatas.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Kami memiliki banyak hal-hal lain diatas penjelasan dasar dari algoritma-algoritma SSSP untuk masalah-masalah SSSP ini.


Untuk mendapatkan BellmanFordDemo.java/cpp, DijkstraDemo.java/cpp, kunjungi situs buku teks Competitive Programming dan dapatkan ch4.zip.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Untuk beberapa pertanyaan-pertanyaan menarik tentang masalah SSSP dan berbagai algoritma-algoritmanya, silahkan latihan pada modul latihan SSSP (tidak perlu login).


Tetapi untuk pengguna yang telah teregistrasi, anda sebaiknya login dan lalu pergi ke Halaman Latihan Utama untuk secara resmi menyelesaikan modul ini (setelah menyelesaikan modul-modul prasyarat lainnya) dan prestasi tersebut akan dicatat dalam akun pengguna anda.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Kami juga mempunyai beberapa masalah-masalah pemrograman yang membutuhkan penggunaan algoritma SSSP yang tepat: Kattis - hidingplaces dan Kattis - shortestpath1.


Cobalah selesaikan mereka dan lalu cobalah lebih banyak varian menarik dari masalah SSSP menarik ini.


Iklan: Beli buku teks Competitive Programming untuk membaca lebih banyak tentang masalah yang menarik ini.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
Selagi aksi dijalankan, tiap langkahnya akan dijelaskan pada panel status.
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

e-Lecture: The content of this slide is hidden and only available for legitimate CS lecturer worldwide. Drop an email to visualgo.info at gmail dot com if you want to activate this CS lecturer-only feature and you are really a CS lecturer (show your University staff profile).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
Kendalikan animasi dengan tombol kendali! Terdapat pula shortcut melalui keyboard:
Spasi: play/pause/replay
Panah kanan/kiri: maju ke depan/belakang
-/+: turunkan/tingkatkan kecepatan

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
Kembali ke 'Mode Eksplorasi' untuk memulai eksplorasi!

Harap diingat bahwa jika anda menemukan bug pada visualisasi ini atau bila anda ingin meminta fitur / visualisasi baru, jangan segan-segan untuk menghubungi pemimpin proyek ini: Dr Steven Halim melalui alamat emailnya: stevenhalim at gmail dot com.
X Esc
Sebelum PgUp

Gambar Grafik

Contoh Graf

Algoritma Bellman Ford(s)

Algoritma BFS(s)

Algoritma Dijkstra(s)

Algoritma DFS(s)

Pemrograman Dinamis(s)

>

CP3 4.3 U/U

CP3 4.4 D/U

CP3 4.17 D/W

CP3 4.18 -ve weight

CP3 4.19 -ve cycle

CP3 4.40 Tree

Bellman Ford's Killer

Dijkstra's Killer

DAG

s =

Lakukan

s =

Lakukan

s =

Original

Telah dimodifikasi

s =

Lakukan

s =

Lakukan

Tentang Tim Syarat Guna

Tentang

VisuAlgo digagas pada tahun 2011 oleh Dr Steven Halim sebagai alat untuk membantu murid-muridnya mengerti struktur data dan algoritma dengan memampukan mereka untuk mempelajari dasar-dasar struktur data dan algoritma secara otodidak dan dengan kecepatan mereka sendiri.


VisuAlgo mempunya banyak algoritma-algoritma tingkat lanjut yang dibahas didalam buku Dr Steven Halim ('Competitive Programming', yang ditulis bersama adiknya Dr Felix Halim) dan lebih lagi. Hari ini, beberapa dari visualisasi/animasi algoritma-algoritma tingkat lanjut ini hanya ditemukan di VisuAlgo.


Meskipun pada khususnya didesain untuk murid-murid National University of Singapore (NUS) yang mengambil berbagai kelas-kelas struktur data dan algoritma (contoh: CS1010, CS1020, CS2010, CS2020, CS3230, dan CS3233), sebagai pendukung pembelajaran online, kami berharap bahwa orang-orang di berbagai belahan dunia menemukan visualisasi-visualisasi di website ini berguna bagi mereka juga.


VisuAlgo tidak didesain untuk layar sentuh kecil (seperti smartphones) dari awalnya karena kami harus membuat banyak visualisasi-visualisasi algoritma kompleks yang membutuhkan banyak pixels dan gestur klik-dan-tarik untuk interaksinya. Resolusi layar minimum untuk pengalaman pengguna yang lumayan adalah 1024x768 dan hanya halaman utama VisuAlgo yang secara relatif lebih ramah dengan layar kecil.


VisuAlgo adalah proyek yang sedang terus berlangsung dan visualisasi-visualisasi yang lebih kompleks sedang dibuat.


Perkembangan yang paling menarik adalah pembuatan pertanyaan otomatis (sistem kuis online) yang bisa dipakai oleh murid-murid untuk menguji pengetahuan mereka tentang dasar-dasar struktur data dan algoritma. Pertanyaan-pertanyaan dibuat secara acak dengan semacam rumus dan jawaban-jawaban murid-murid dinilai secara instan setelah dikirim ke server penilai kami. Sistem kuis online ini, saat sudah diadopsi oleh banyak dosen Ilmu Komputer diseluruh dunia, seharusnya bisa menghapuskan pertanyaan-pertanyaan dasar tentang struktur data dan algoritma dari ujian-ujian di banyak Universitas. Dengan memberikan bobot kecil (tapi tidak kosong) supaya murid-murid mengerjakan kuis online ini, seorang dosen Ilmu Komputer dapat dengan signifikan meningkatkan penguasaan materi dari murid-muridnya tentang pertanyaan-pertanyaan dasar ini karena murid-murid mempunyai kesempatan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini yang bisa dinilai secara instan sebelum mereka mengambil kuis online yang resmi. Mode latihan saat ini mempunyai pertanyaan-pertanyaan untuk 12 modul visualisasi. Kami akan segera menambahkan pertanyaan-pertanyaan untuk 8 modul visualisasi lainnya sehingga setiap every modul visualisasi di VisuAlgo mempunyai komponen kuis online.


Cabang pengembangan aktif lainnya adalah sub-proyek penerjemahan dari VisuAlgo. Kami mau menyiapkan basis data kosa kata Ilmu Komputer dalam bahasa Inggris yang digunakan di sistem VisuAlgo. Ini adalah pekerjaan besar yang membutuhkan crowdsourcing. Saat sistem tersebut siap, kami akan mengundang beberapa dari anda untuk berkontribusi, terutama bila bahasa Inggris bukan bahasa ibu anda. Saat ini, kami juga telah menulis catatan-catatan publik tentang VisuAlgo dalam berbagai bahasa:
zh, id, kr, vn, th.

Tim

Pemimpin & Penasihat Proyek (Jul 2011-sekarang)
Dr Steven Halim, Senior Lecturer, School of Computing (SoC), National University of Singapore (NUS)
Dr Felix Halim, Software Engineer, Google (Mountain View)

Murid-Murid S1 Peniliti 1 (Jul 2011-Apr 2012)
Koh Zi Chun, Victor Loh Bo Huai

Murid-Murid Proyek Tahun Terakhir/UROP 1 (Jul 2012-Dec 2013)
Phan Thi Quynh Trang, Peter Phandi, Albert Millardo Tjindradinata, Nguyen Hoang Duy

Murid-Murid Proyek Tahun Terakhir/UROP 2 (Jun 2013-Apr 2014)
Rose Marie Tan Zhao Yun, Ivan Reinaldo

Murid-Murid S1 Peniliti 2 (May 2014-Jul 2014)
Jonathan Irvin Gunawan, Nathan Azaria, Ian Leow Tze Wei, Nguyen Viet Dung, Nguyen Khac Tung, Steven Kester Yuwono, Cao Shengze, Mohan Jishnu

Murid-Murid Proyek Tahun Terakhir/UROP 3 (Jun 2014-Apr 2015)
Erin Teo Yi Ling, Wang Zi

Murid-Murid Proyek Tahun Terakhir/UROP 4 (Jun 2016-Dec 2017)
Truong Ngoc Khanh, John Kevin Tjahjadi, Gabriella Michelle, Muhammad Rais Fathin Mudzakir

List of translators who have contributed ≥100 translations can be found at statistics page.

Ucapan Terima Kasih
Proyek ini dimungkinkan karena Hibah Pengembangan Pengajaran dari NUS Centre for Development of Teaching and Learning (CDTL).

Syarat Guna

VisuAlgo bebas biaya untuk komunitas Ilmu Komputer di dunia. Jika anda menyukai VisuAlgo, satu-satunya pembayaran yang kami minta dari anda adalah agar anda menceritakan keberadaan VisuAlgo kepada murid-murid/dosen-dosen Ilmu Komputer yang anda tahu =) lewat Facebook, Twitter, situs mata kuliah, ulasan di blog, email, dsb.


Jika anda adalah murid/dosen struktur data dan algoritma, anda diijinkan untuk menggunakan situs ini secara langsung di kelas-kelas anda. Jika anda mengambil screen shots (video-video) dari situs ini, anda dapat menggunakan screen shots (video-video) tersebut ditempat lain asalkan anda menyebut URL dari situs ini (http://visualgo.net) dan/atau daftar publikasi dibawah ini sebagai referensi. Tetapi, anda TIDAK diijinkan untuk mengunduh berkas-berkas VisuAlgo (sisi-klien) dan memasangnya di situs anda sendiri karena itu dikategorikan sebagai plagiat. Saat ini, kami TIDAK mengijinkan orang lain untuk membuat cabang/varian dari proyek VisuAlgo ini. Menggunakan kopi offline (sisi-klien) dari VisuAlgo untuk kepentingan pribadi diijinkan.


Ingat bahwa komponen kuis online dari VisuAlgo secara natur membutuhkan sisi-server dan tidak bisa dengan mudah disimpan di komputer lokal. Saat ini, publik hanya bisa menggunkaan 'mode latihan' untuk mengakses sistem kuis online. Saat ini, 'mode ujian' adalah sistem untuk mengakses pertanyaan-pertanyaan acak ini yang digunakan untuk ujian resmi di NUS. Dosen-dosen Ilmu Komputer yang lain harus menghubungi Steven jika anda mau mencoba 'mode ujian' tersebut.


Dafatar Publikasi


Karya ini telah dipresentasikan singkat pada CLI Workshop sewaktu ACM ICPC World Finals 2012 (Poland, Warsaw) dan pada IOI Conference di IOI 2012 (Sirmione-Montichiari, Italy). Anda bisa mengklik link ini untuk membaca makalah kami tahun 2012 tentang sistem ini (yang belum disebut sebagai VisuAlgo pada tahun 2012 tersebut).


Karya ini dibuat denbgan bantuan bekas murid-murid saya. Laporan-laporan proyek yang cukup mutakhir bisa dibaca disini: Erin, Wang Zi, Rose, Ivan.


Laporan Bug atau Meminta Fitur Baru


VisuAlgo bukanlah proyek yang sudah selesai. Dr Steven Halim masih aktif dalam mengembangkan VisuAlgo. Jika anda adalah pengguna VisuAlgo dan menemukan bug di halaman visualisasi/sistem kuis online atau jika anda mau meminta fitur baru, silahkan hubungi Dr Steven Halim. Alamat emailnya adalah gabungan dari namanya dan tambahkan gmail titik com.