1. 拓扑排序算法（包括DFS和BFS/Kahn的算法版本），
2. 二分图检查器算法（包括DFS和BFS版本），
3. 切割顶点和桥的查找算法，
4. 强连通分量（SCC）查找算法
   (Kosaraju的和Tarjan的版本)，
5. 以及2-SAT检查算法。

当所选的图遍历算法运行时，将在次处显示动画。

There are two different sources for specifying an input graph:

1. Edit Graph: You can draw a new graph or edit an example unweighted directed graph as the input graph (to draw bidirectional edge (u, v), you can draw two directed edges u → v and v → u).
2. Example Graphs: You can select from the list of our selected example graphs to get you started.

如果您还没有探索/掌握 Binary Heap 的概念，尤其是 Binary Search Tree, ，我们建议您首先探索它们，因为遍历一个（二叉）树结构比遍历一般图简单得多。

Quiz: Mini pre-requisite check. What are the Pre-/In-/Post-order traversal of the binary tree shown (root = vertex 0), left and right child are as drawn?

在一般图中，我们没有根节点的概念。相反，我们需要选择一个不同的节点作为遍历的起始点，即源点 s 。

DFS类比一个只有一个人口和一个出口的迷宫。您在 入口处，想要探索迷宫到达出口。显然你不能分身。

在继续之前，先思考这些反思性问题：如果您面前有分支选择，您会怎么做？如何避免进入循环？如何标记自己的路径？提示：你需要一只粉笔，石头（或任何其他标记物）和一根（长）线。

如果DFS在顶点 u 并且它有 X 个邻居，它会选择第一个邻居 V₁ (通常是序号最小的那个顶点), 使用递归访问所有 V₁可以到达的顶点, 最终返回顶点 u. DFS 接下来对其他的邻居做同样的事指导探索完成最后一个邻居 V_X 和它所能触及到的顶点.

如果一个图是圈，之前的“尝试所有”的方法可能让DFS陷入循环。所以DFS的基本形式用一个大小为 V 个顶点的数组 status[u] 来确定两种情况 分别为 u 已经被访问过了 或者没有被访问过。只有当 u 还没有被访问过的时候 DFS才可以访问顶点 u.

当DFS没有路可走的时候它会跳出当前的递归 回去 到之前的顶点 (p[u], 看下一页).

DFS 用另一个大小为 V 个顶点数组 p[u] 来记住在DFS遍历路径上每一个顶点 u 的 parent/predecessor/previous（父/祖先/前）顶点。

最开始的顶点的祖先也就是 p[s] 被设定为-1也就是说它没有祖先 (因为最低的顶点是顶点0).

从一个源顶点 s 到一个可以到达的顶点 u 所生成的路径反过来 就是 DFS 生成树. 我们给这些 树边 上 红色.

现在，忽略显示的伪代码中额外的 status[u] = explored 以及可视化中的 蓝色 和 灰色 边的存在 （将很快会解释）。

DFS 的时间复杂度是 O(V+E) ，因为：

1. 每个节点只访问过一次，因为 DFS 将仅递归地探索节点 u 如果 status[u] = unvisited — O(V)
2. 每次访问完一个节点，都会探索其所有 k 个邻点，因此在访问所有节点之后，我们已检查了所有 E 边 — （O(E) ，因为i每个节点的邻点总数等于 E）。

DFS 的he O(V+E) 时间复杂度只有当我们可以在 O(k) 时间内访问一个顶点的所有 k 个邻点时才可以实现。

Quiz: Which underlying graph data structure support that operation?

BFS 与之前讨论过的非常相似，但有一些差异。

BFS 从源点 s 开始，但它在更深入之前使用 queue 尽最宽可能地将访问序列排序。

BFS 还是用大小为 V 节点的布尔数组来区分两种不同的状态：已访问节点和未访问节点（我们不会像使用 DFS 那样使用 BFS 来检测反向边）。

不多说，让我们在默认的示例图上执行 BFS(5) (CP3 Figure 4.3). Recap BFS Example.

注意这里是 宽度优先 式的探索 因为我们用了 先进先出的数据结构：队列？

BFS的时间复杂度是 O(V+E)，因为:

1. 每一个顶点都被访问一次 因为它们只能进入队列一次— O(V)
2. 每当一个顶点从队列中出队时，所有它的 k 个邻居都会被探索 所以当所有的顶点都被访问过后，我们一共探索了 E 条路径 — (O(E) 因为每个顶点的邻居总数为 E).

对于DFS来说 O(V+E) 只有在用 邻接表 图数据结构 — 和DFS分析相同

到现在为止，我们可以用 DFS/BFS 去解决一些图的遍历问题变种：

1. 检测可达性
2. 显示出遍历路径
3. 分辨/计数/标记 一个无向图的连通分量（CCs）
4. 探测图是否有圈（cyclic）
5. 拓补排序（只在有向无圈图 DAG中）

多数的数据结构和算法课程只传授这些 DFS/BFS 的基本应用，尽管它们可以做更多...

如果您被要求测试图中的节点 s 和一个（不同的）节点 t 是否可达，即直接连接（通过一条边）或间接连接（通过简单的非环路径），则可以调用 O(V+E) DFS(s) (或 BFS(s)) 并检查是否 status[t] = visited。

例子 1：s = 0 和 t = 4, 运行 DFS(0) 并注意 status[4] = visited. 例子 2： s = 0 和 t = 7, 运行 DFS(0) 并注意 status[7] = unvisited.

回想：每次用DFS或BFS从定点u到顶点v（一个生成树中的树边）时，我们设置p[v] = u。我们可以使用以下简单的递归函数来打印出存储在数组 p 中的路径。可能的后续讨论：您能以迭代的形式写出来吗？（容易解决）

method backtrack(u)
  if (u == -1) stop
  backtrack(p[u]);
  output vertex u

要打印图中从源点到目标顶点 t 的路径，可以调用 O(V+E) DFS(s) (或 BFS(s)) ，然后调用 O(V)

我们可以通过简单地调用 O(V+E) DFS(s) (或 BFS(s)) ，并枚举所有 status[v] = visited 的节点 v，来枚举从无向图中的节点 s 可到达的所有节点（如上图的示例图所示）。

我们可以用如下的伪代码来计算连通分量（CCs）的数量：

CC = 0
for all u in V, set status[u] = unvisited
for all u in V
  if (status[u] == unvisited)
    CC++ // 我们可以用CC计数器的数量来作为CC的标记
    DFS(u) // 或者 BFS(u), 来标记它的成员为已访问
output CC // 上面的示例图的答案是3
// CC 0 = {0,1,2,3,4}, CC 1 = {5}, CC 2 = {6,7,8}

如果你想要给每一个CC你自己的标记，你可以简单修改 DFS(u)/BFS(u) 的代码。

Quiz: What is the time complexity of Counting the Number of CCs algorithm?

为了深入我们对底层图的理解，我们可以 扩大 DFS算法的基础。

在这个动画里, 我们用 蓝色 来表示DFS生成树的 返回 边。 如果发现了至少一个返回边 ， 那代表被遍历的图（部分）是圈 的，而如果没有返回边的话，那就代表从出发点开始的部分并不是圈的。

为了侦测 返回边，我们可以通过修改 status[u] 来记录 三 种不同的状态：

1. 未访问: 和之前一样，DFS还没有访问过 u ，
2. 已探索: DFS已经访问了 u, 但是至少有一个 u 的邻居还没有被探索 (DFS会先 深度优先 式的先去探索那个顶点的邻居),
3. 已访问: 增强版的定义：顶点 u 的所有邻居都已经被探索过了并且DFS正要从顶点 u 原路返回去顶点 p[u].

如果DFS现在在顶点 x ，同时正在在探索边 x → y 并且遇到 status[y] = explored, 我们可以确认 x → y 是一个 返回边 (我们找到了一个圈因为我们之前在顶点 y (因此 status[y] = explored), 走更深去探索 y 的邻居等等, 但是我们现在在顶点 x ，它是一个可以从 y 出发所抵达的顶点 但是顶点 x 引领我们走回了 y).

图中不是 树边 也不是 返回边 的路径都以 灰色 显示。他们叫做 前进或交叉边，对于现在的我们来说用处不大， 不再赘述。

现在，综合新的理解，在上面的示例图中试试 DFS(0)， 特别留意一个顶点的三种不同状态 (未访问/正常的黑色圆, 已探索/蓝色的圆, 已访问/橘色的圆) 还有 返回边。 2 → 1 被探测到是一个返回边 因为它是圈（circle） 1 → 3 → 2 → 1 的一部分（从”已探索“的顶点2到”已探索“的顶点1）(相似的 6 → 4 是圈 4 → 5 → 7 → 6 → 4的一部分)。

注意，如果2 → 1和6 → 4被逆转成1 → 2和4 → 6，那么这个图将会被正确地归类为无环图，因为3 → 2和4 → 6从”已探索“移动到”已访问“。如果我们只用两种状态”已访问“和”未访问“，那么我们将无法把这两种情况分开。

还有另一个可以被视为”简单“的 DFS（以及 BFS）应用：执行有向无环图（DAG）的拓扑排序 — 参见上面的示例。

我们可以使用 O(V+E) DFS 或 BFS 来执行有向无环图（DAG）的拓扑排序。

1. 检测二分图 (DFS 和 BFS 变种),
2. 寻找无向图的衔接点（切顶）和桥梁（仅DFS）,
3. 寻找有向图的强连通分量（SCC）（Tarjan和Kosaraju的算法）, 以及
4. 2-SAT(可满足性) 检查算法.
   

Quiz: Which Graph Traversal Algorithm is Better?

讨论：为什么？

关于这两个图的遍历算法有一些有趣的问题：DFS + BFS 和图遍历问题的变体，请在 Graph Traversal 培训模块中练习（不需要登陆，但是您最多只能做短和中等难度的问题）。

但是，对于注册用户，您应该登陆后转到 Main Training Page 以正式清除此模块，此类成就将记录在您的用户账户中。

我们有一些Kattis问题多多少少用到了DFS和/或BFS: Kattis - reachableroads 和 Kattis - breakingbad.

试试解出它们并且尝试 更多 有趣的对这个简单的 图遍历问题/图遍历算法 的 变种/改变。你可以使用或者修改我们的DFS/BFS的源代码：dfs_cc.cpp/bfs.cpp dfs_cc.java/bfs.java dfs_cc.py/bfs.py dfs_cc.ml/bfs.ml