1. 拓扑排序算法（包括DFS和BFS/Kahn的算法版本），
2. 二分图检查器算法（包括DFS和BFS版本），
3. 切割顶点和桥的查找算法，
4. 强连通分量（SCC）查找算法
   (Kosaraju的和Tarjan的版本)，
5. 以及2-SAT检查算法。

当所选的图遍历算法运行时，将在次处显示动画。

There are three different sources for specifying an input graph:

1. Edit Graph: You can draw a new graph or edit an example unweighted directed graph as the input graph (to draw bidirectional edge (u, v), you can draw two directed edges u → v and v → u; or click 'Include Reverse Edges' button to do this for all directed edges).
2. Input Graph: You can specify Edge List/Adjacency Matrix/Adjacency List information and VisuAlgo will propose a 2D graph drawing layout of that graph.
3. Example Graphs: You can select from the list of our selected example graphs to get you started.

如果您还没有探索/掌握 Binary Heap 的概念，尤其是 Binary Search Tree, ，我们建议您首先探索它们，因为遍历一个（二叉）树结构比遍历一般图简单得多。

Quiz: Mini pre-requisite check. What are the Pre-/In-/Post-order traversal of the binary tree shown (root = vertex 0), left and right child are as drawn?

在一般图中，我们没有根节点的概念。相反，我们需要选择一个不同的节点作为遍历的起始点，即源点 s 。

DFS类比一个只有一个人口和一个出口的迷宫。您在 入口处，想要探索迷宫到达出口。显然你不能分身。

在继续之前，先思考这些反思性问题：如果您面前有分支选择，您会怎么做？如何避免进入循环？如何标记自己的路径？提示：你需要一只粉笔，石头（或任何其他标记物）和一根（长）线。

如果DFS在顶点 u 并且它有 X 个邻居，它会选择第一个邻居 V₁ (通常是序号最小的那个顶点), 使用递归访问所有 V₁可以到达的顶点, 最终返回顶点 u. DFS 接下来对其他的邻居做同样的事指导探索完成最后一个邻居 V_X 和它所能触及到的顶点.

如果一个图是圈，之前的“尝试所有”的方法可能让DFS陷入循环。所以DFS的基本形式用一个大小为 V 个顶点的数组 status[u] 来确定两种情况 分别为 u 已经被访问过了 或者没有被访问过。只有当 u 还没有被访问过的时候 DFS才可以访问顶点 u.

当DFS没有路可走的时候它会跳出当前的递归 回去 到之前的顶点 (p[u], 看下一页).

DFS 用另一个大小为 V 个顶点数组 p[u] 来记住在DFS遍历路径上每一个顶点 u 的 parent/predecessor/previous（父/祖先/前）顶点。

最开始的顶点的祖先也就是 p[s] 被设定为-1也就是说它没有祖先 (因为最低的顶点是顶点0).

从一个源顶点 s 到一个可以到达的顶点 u 所生成的路径反过来 就是 DFS 生成树. 我们给这些 树边 上 红色.

For now, ignore the extra status[u] = explored in the displayed pseudocode and the presence of blue and grey edges in the visualization (to be explained soon).

Without further ado, let's execute DFS(0) on the default example graph for this e-Lecture (CP4 Figure 4.1). Recap DFS Example

The basic version of DFS presented so far is already enough for most simple cases.

DFS 的时间复杂度是 O(V+E) ，因为：

1. 每个节点只访问过一次，因为 DFS 将仅递归地探索节点 u 如果 status[u] = unvisited — O(V)
2. 每次访问完一个节点，都会探索其所有 k 个邻点，因此在访问所有节点之后，我们已检查了所有 E 边 — （O(E) ，因为i每个节点的邻点总数等于 E）。

DFS 的he O(V+E) 时间复杂度只有当我们可以在 O(k) 时间内访问一个顶点的所有 k 个邻点时才可以实现。

Quiz: Which underlying graph data structure support that operation?

BFS 与之前讨论过的非常相似，但有一些差异。

BFS 从源点 s 开始，但它在更深入之前使用 queue 尽最宽可能地将访问序列排序。

BFS 还是用大小为 V 节点的布尔数组来区分两种不同的状态：已访问节点和未访问节点（我们不会像使用 DFS 那样使用 BFS 来检测反向边）。

Without further ado, let's execute BFS(5) on the default example graph for this e-Lecture (CP4 Figure 4.2). Recap BFS Example.

Notice the Breadth-first exploration due to the usage of FIFO data structure: Queue?

BFS的时间复杂度是 O(V+E)，因为:

1. 每一个顶点都被访问一次 因为它们只能进入队列一次— O(V)
2. 每当一个顶点从队列中出队时，所有它的 k 个邻居都会被探索 所以当所有的顶点都被访问过后，我们一共探索了 E 条路径 — (O(E) 因为每个顶点的邻居总数为 E).

对于DFS来说 O(V+E) 只有在用 邻接表 图数据结构 — 和DFS分析相同

到现在为止，我们可以用 DFS/BFS 去解决一些图的遍历问题变种：

1. 检测可达性
2. 显示出遍历路径
3. 分辨/计数/标记 一个无向图的连通分量（CCs）
4. 探测图是否有圈（cyclic）
5. 拓补排序（只在有向无圈图 DAG中）

多数的数据结构和算法课程只传授这些 DFS/BFS 的基本应用，尽管它们可以做更多...

如果您被要求测试图中的节点 s 和一个（不同的）节点 t 是否可达，即直接连接（通过一条边）或间接连接（通过简单的非环路径），则可以调用 O(V+E) DFS(s) (或 BFS(s)) 并检查是否 status[t] = visited。

例子 1：s = 0 和 t = 4, 运行 DFS(0) 并注意 status[4] = visited. 例子 2： s = 0 和 t = 7, 运行 DFS(0) 并注意 status[7] = unvisited.

回想：每次用DFS或BFS从定点u到顶点v（一个生成树中的树边）时，我们设置p[v] = u。我们可以使用以下简单的递归函数来打印出存储在数组 p 中的路径。可能的后续讨论：您能以迭代的形式写出来吗？（容易解决）

method backtrack(u)
  if (u == -1) stop
  backtrack(p[u]);
  output vertex u

要打印图中从源点到目标顶点 t 的路径，可以调用 O(V+E) DFS(s) (或 BFS(s)) ，然后调用 O(V)

我们可以通过简单地调用 O(V+E) DFS(s) (或 BFS(s)) ，并枚举所有 status[v] = visited 的节点 v，来枚举从无向图中的节点 s 可到达的所有节点（如上图的示例图所示）。

我们可以用如下的伪代码来计算连通分量（CCs）的数量：

CC = 0
for all u in V, set status[u] = unvisited
for all u in V
  if (status[u] == unvisited)
    CC++ // 我们可以用CC计数器的数量来作为CC的标记
    DFS(u) // 或者 BFS(u), 来标记它的成员为已访问
output CC // 上面的示例图的答案是3
// CC 0 = {0,1,2,3,4}, CC 1 = {5}, CC 2 = {6,7,8}

如果你想要给每一个CC你自己的标记，你可以简单修改 DFS(u)/BFS(u) 的代码。

Quiz: What is the time complexity of Counting the Number of CCs algorithm?

为了深入我们对底层图的理解，我们可以 扩大 DFS算法的基础。

在这个动画里, 我们用 蓝色 来表示DFS生成树的 返回 边。 如果发现了至少一个返回边 ， 那代表被遍历的图（部分）是圈 的，而如果没有返回边的话，那就代表从出发点开始的部分并不是圈的。

为了侦测 返回边，我们可以通过修改 status[u] 来记录 三 种不同的状态：

1. 未访问: 和之前一样，DFS还没有访问过 u ，
2. 已探索: DFS已经访问了 u, 但是至少有一个 u 的邻居还没有被探索 (DFS会先 深度优先 式的先去探索那个顶点的邻居),
3. 已访问: 增强版的定义：顶点 u 的所有邻居都已经被探索过了并且DFS正要从顶点 u 原路返回去顶点 p[u].

如果DFS现在在顶点 x ，同时正在在探索边 x → y 并且遇到 status[y] = explored, 我们可以确认 x → y 是一个 返回边 (我们找到了一个圈因为我们之前在顶点 y (因此 status[y] = explored), 走更深去探索 y 的邻居等等, 但是我们现在在顶点 x ，它是一个可以从 y 出发所抵达的顶点 但是顶点 x 引领我们走回了 y).

图中不是 树边 也不是 返回边 的路径都以 灰色 显示。他们叫做 前进或交叉边，对于现在的我们来说用处不大， 不再赘述。

现在，综合新的理解，在上面的示例图中试试 DFS(0)， 特别留意一个顶点的三种不同状态 (未访问/正常的黑色圆, 已探索/蓝色的圆, 已访问/橘色的圆) 还有 返回边。 2 → 1 被探测到是一个返回边 因为它是圈（circle） 1 → 3 → 2 → 1 的一部分（从”已探索“的顶点2到”已探索“的顶点1）(相似的 6 → 4 是圈 4 → 5 → 7 → 6 → 4的一部分)。

注意，如果2 → 1和6 → 4被逆转成1 → 2和4 → 6，那么这个图将会被正确地归类为无环图，因为3 → 2和4 → 6从”已探索“移动到”已访问“。如果我们只用两种状态”已访问“和”未访问“，那么我们将无法把这两种情况分开。

还有另一个可以被视为”简单“的 DFS（以及 BFS）应用：执行有向无环图（DAG）的拓扑排序 — 参见上面的示例。

我们可以使用 O(V+E) DFS 或 BFS 来执行有向无环图（DAG）的拓扑排序。

We can use the O(V+E) DFS or BFS (they work similarly) to check if a given graph is a Bipartite Graph by giving alternating color (orange versus blue in this visualization) between neighboring vertices and report 'non bipartite' if we ends up assigning same color to two adjacent vertices or 'bipartite' if it is possible to do such '2-coloring' process. Try DFS_Checker or BFS_Checker on the example Bipartite Graph.

Bipartite Graphs have useful applications in (Bipartite) Graph Matching problem.

Note that Bipartite Graphs are usually only defined for undirected graphs so this visualization will convert directed input graphs into its undirected version automatically before continuing. This action is irreversible and you may have to redraw the directed input graph again for other purposes.

As of now, you have seen DFS/BFS and what it can solve (with just minor tweaks). There are a few more advanced applications that require more tweaks and we will let advanced students to explore them on their own:

1. Finding Articulation Points (Cut Vertices) and Bridges of an Undirected Graph (DFS only),
2. Finding Strongly Connected Components (SCCs) of a Directed Graph (Tarjan's and Kosaraju's algorithms), and
3. 2-SAT(isfiability) Checker algorithms.

Advertisement: The details are written in Competitive Programming book.

Quiz: Which Graph Traversal Algorithm is Better?

讨论：为什么？

关于这两个图的遍历算法有一些有趣的问题：DFS + BFS 和图遍历问题的变体，请在 Graph Traversal 培训模块中练习（不需要登陆，但是您最多只能做短和中等难度的问题）。

但是，对于注册用户，您应该登陆后转到 Main Training Page 以正式清除此模块，此类成就将记录在您的用户账户中。

我们有一些Kattis问题多多少少用到了DFS和/或BFS: Kattis - reachableroads 和 Kattis - breakingbad.

试试解出它们并且尝试 更多 有趣的对这个简单的 图遍历问题/图遍历算法 的 变种/改变。你可以使用或者修改我们的DFS/BFS的源代码：dfs_cc.cpp/bfs.cpp dfs_cc.java/bfs.java dfs_cc.py/bfs.py dfs_cc.ml/bfs.ml