要在标准二叉搜索树和AVL树之间切换（只有在插入和删除整数期间有不同的行为），请选择相应的标题。

此URL也能帮助你快速访问AVL树模式，即https://visualgo.net/zh/avl 。你可以将en改成其他语言(zh, id)。

BST（尤其是像AVL Tree这样平衡的BST）是实现某种表（或映射）抽象数据类型（ADT）的高效数据结构。

表ADT必须至少支持以下三种操作：

1. 搜索（v） - 确定 ADT 中是否存在 v，
   
2. 插入（v） - 将 v 插入ADT，
   
3. 删除（v） - 从 ADT 中删除 v 。
   

参考：请参阅哈希表e-Lecture中的类似幻灯片。

1. 搜索（v）在O(N)中运行，因为如果v实际上不存在，我们最终可能会探索ADT的所有N个元素，
   
2. 插入（v）可以在O(1)中实现，只需将v放在数组的后面，
   
3. 删除（v）也在O(N)中运行，因为我们必须首先搜索已经O(N)的v，然后用 O(N) 时间删除后处理被删除元素的空位。
   

1. 搜索（v）现在可以在O(log N),中实现，因为我们现在可以在已排序的数组上使用二进制搜索，
   
2. 插入（v）现在在O(N)中运行，因为我们需要实现类似插入的策略以使数组保持排序状态，
   
3. 删除（v）在O(N)中运行，因为即使 Search(v) 在O(log N)中运行，我们仍然需要在删除后关闭间隙 - 在O（N）中。
   

此e-Lecture的目标是引入BST和平衡BST（AVL树）数据结构，以便我们可以在远小于 N 的 O(log N) 时间内实现基本的表ADT操作：搜索（v），插入（v），删除（v）和一些 其他Table ADT操作 - 参见下一张幻灯片。
PS：一些经验丰富的读者可能会注意到存在另一种数据结构可以在更快的时间内实现三种基本的表ADT操作，但请继续阅读......

1. 找到 Min()/ Max() 元素，
   
2. 找到 Successor(v) - '下一个更大' / Predecessor(v) - '上一个更小'元素，
   
3. 按排序顺序列出元素，
   
4. X＆Y操作 - 因 NUS 教学目的被隐藏
   
5. 还有其他可能的操作。
   

可用于实现表ADT的更简单的数据结构是链接列表。

Quiz: Can we perform all basic three Table ADT operations: Search(v)/Insert(v)/Remove(v) efficiently (read: faster than O(N)) using Linked List?

可用于实现表ADT的另一种数据结构是哈希表。 它具有非常快的搜索（v），插入（v）和删除（v）性能（所有都在预期的O(1) 时间内）。

Quiz: So what is the point of learning this BST module if Hash Table can do the crucial Table ADT operations in unlikely-to-be-beaten expected O(1) time?

We provide visualization for the following common BST/AVL Tree operations:

1. Query operations (the BST structure remains unchanged):
   1. Search(v),
   2. Predecessor(v) (and similarly Successor(v)), and
   3. Inorder/Preorder Traversal (we will add Postorder Traversal soon),
2. Update operations (the BST structure may likely change):
   1. Insert(v),
   2. Remove(v), and
   3. Create BST (several criteria).

还有一些其他BST（查询）操作尚未在VisuAlgo中可视化：

1. Rank(v)：给定键值 v，确定BST元素的排序顺序中的排名（基于1的索引）。 也就是说，Rank(FindMin()) = 1 且 Rank(FindMax()) = N。如果 v 不存在，我们报告 -1。
   
2. Select(k)：给定等级k，1 ≤ k ≤ N，确定在BST中具有该等级k的键值 v。 换句话说，找到BST中的第k小的元素，也就是 Select(1) = FindMin() and Select(N) = FindMax()。

因为一门 NUS 的课程需要用到这两种操作的细节，它们被隐藏起来了。

Because of the way data (distinct integers for this visualization) is organised inside a BST, we can binary search for an integer v efficiently (hence the name of Binary Search Tree).

First, we set the current vertex = root and then check if the current vertex is smaller/equal/larger than integer v that we are searching for. We then go to the right subtree/stop/go the left subtree, respectively. We keep doing this until we either find the required vertex or we don't.

On the example BST above, try clicking Search(23) (found after 2 comparisons), Search(7) (found after 3 comparisons), Search(21) (not found after 2 comparisons — at this point we will realize that we cannot find 21).

Similarly, because of the way data is organised inside a BST, we can find the minimum/maximum element (an integer in this visualization) by starting from root and keep going to the left/right subtree, respectively.

Try clicking FindMin() and FindMax() on the example BST shown above. The answers should be 4 and 71 (both after comparing against 3 integers from root to leftmost vertex/rightmost vertex, respectively).

1. 如果 v 具有右子树，则 v 的右子树中的最小整数必须是 v 的后继。尝试Successor(23)（应为50）。
   
2. 如果 v 没有右子树，我们需要遍历 v 的祖先，直到我们找到'右转'到顶点 w（或者，直到我们发现第一个大于顶点 v 的顶点 w）。 一旦我们找到顶点 w，我们将看到顶点 v 是 w 的左子树中的最大元素。 试试Successor(7)（应该是15）。
   
3. 如果 v 是BST中的最大整数，则 v 没有后继。 试试Successor(71)（应该没有）。
   

无论BST的高度如何，Inorder Traversal都以O（N）运行。
讨论：为什么？
PS：有些人调用N个无序整数插入O（N log N）中的BST，然后执行O（N）Inorder Traversal作为'BST sort'。 它很少使用，因为有几种比这更容易使用（基于比较）的排序算法。

We have included the animation for Preorder but we have not do the same for Postorder tree traversal method.

Basically, in Preorder Traversal, we visit the current root before going to left subtree and then right subtree. For the example BST shown in the background, we have: {{15}, {6, 4, 5, 7}, {23, 71, 50}}. PS: Do you notice the recursive pattern? root, members of left subtree of root, members of right subtree of root.

In Postorder Traversal, we visit the left subtree and right subtree first, before visiting the current root. For the example BST shown in the background, we have: {{5, 4, 7, 6}, {50, 71, 23}, {15}}.

第三种情况是三者中最复杂的：顶点v是BST的（内部/根）顶点，它只有两个子节点。 删除v而不执行任何其他操作将断开BST。

删除具有两个子节点的顶点如下：我们用它的后继替换该顶点，然后在其右子树中删除其重复的后继 - 在上面的示例BST上尝试Remove(6)（第一次删除后第二次点击将不执行任何操作） - 请刷新此页面或转到另一张幻灯片，然后返回此幻灯片）。

这部分需要O（h），因为在之前的O（h）类似搜索的努力之外还需要找到后继顶点 。

本案例3值得进一步讨论：

1. 为什么用后继C替换有两个子节点的顶点B总是一个有效的策略？
   
2. 我们可以用它的前身A替换有两个子节点的顶点B吗？ 为什么或者为什么不？
   

To make life easier in 'Exploration Mode', you can create a new BST using these options:

1. Empty BST (you can then insert a few integers one by one),
2. The two e-Lecture Examples that you may have seen several times so far,
3. Random BST (which is unlikely to be extremely tall),
4. Skewed Left/Right BST (tall BST with N vertices and N-1 linked-list like edges, to showcase the worst case behavior of BST operations; disabled in AVL Tree mode).

BST的解读已经过半了。 到目前为止，我们注意到许多基本的表格ADT操作在 O(h) 中运行，而 h 可以像 N-1 条边一样高，就像所示的“向左倾斜”一样 - 效率低下:( ...
那么，有没有办法让我们的BST“不那么高”？

PS：如果你想研究如何在真实程序中实现这些基本的BST操作，你可以下载这个BSTDemo.cpp。

此时，我们建议您按 [Esc] 或单击此e-Lecture幻灯片右下角的X按钮进入“探索模式”并自行尝试各种BST操作，以加强您对这种多功能数据结构的理解。
当您准备继续阅读平衡BST（以AVL树为示例）时，再次按 [Esc] 或从右上角的下拉菜单中将模式切换回“电子演讲模式”。 然后，使用幻灯片选择器下拉列表this slide 12-1恢复。

正式公式是:

v.height = -1 (if v is an empty tree)
v.height = max(v.left.height, v.right.height) + 1 (otherwise)

在上面的例子BST上, height(11) = height(32) = height(50) = height(72) = height(99) = 0 (所有都是叶子)。height(29) = 1，因为有1个边将它连接到它唯一的叶子32上。

Quiz: What are the values of height(20), height(65), and height(41) on the BST above?

如果我们在BST中有N个元素/项/键，假如我们能以某种方式以完美的顺序插入N个元素，以便BST完全平衡的话，则下限高度 h > log₂ N。

请参阅上面显示的 N = 15 的示例（在现实生活中很难实现的完美BST - 尝试插入任何其他整数，它将不再完美）。

N ≤ 1 + 2 + 4 + ... + 2h
N ≤ 20 + 21 + 22 + … + 2h
N < 2h+1 (几何级数之和)
log2 N < log2 2h+1
log2 N < (h+1) * log2 2 (log2 2 is 1)
h > (log2 N)-1 (代数操作)
h > log2 N

我们知道，对于 N 个顶点的任何其他AVL树（不一定是最小尺寸的），N ≥ N_h。

在背景图片中，我们有N₅ = 20个顶点，但我们知道在我们有一个高度为h = 5的完美二叉树之前，我们可以再挤进43个顶点（最多N = 63）。

Nh = 1 + Nh-1 + Nh-2 (高度为h的最小尺寸AVL树的公式)
Nh > 1 + 2*Nh-2 (Nh-1 > Nh-2)
Nh > 2*Nh-2 (obviously)
Nh > 4*Nh-4 (递归)
Nh > 8*Nh-6 (另一个递归步骤)
... (假设初始h是偶数，我们只能这样做h/2次)
Nh > 2h/2*N0 (我们到了base case)
Nh > 2h/2 (N0 = 1)

N ≥ Nh > 2h/2 (结合前两张幻灯片)
N > 2h/2
log2(N) > log2(2h/2) (两边都是log2)
log2(N) > h/2 (等式化简)
2 * log2(N) > h 或 h < 2 * log2(N)
h = O(log(N)) (最后结论)

再看一下BST示例。 看到所有顶点都是高度平衡的AVL树。
为了快速检测顶点v是否高度平衡，我们将AVL树的（内部具有绝对函数的）不变式修改为：bf(v) = |v.left.height - v.right.height|。
现在再次在AVL树上尝试Insert(37)。 插入路径上的几个顶点：{41,20,29,32}的高度增加1。 在插入之后顶点{29,20}将不再高度平衡了（并且将在稍后旋转 - 在接下来的几张幻灯片中讨论），i.e. bf（29）= -2和bf（20）= -2。 我们需要恢复平衡。

见上图。 在左侧图片上调用rotateRight(Q) 将生成正确的图片。 在右图上调用rotateLeft(P)将再次产生左图。
只有当T有一个左/右子节点时，才能调用rotateRight(T)/rotateLeft(T) 。
Tree Rotation保留BST属性。 在旋转之前，P ≤ B ≤ Q。旋转之后，请注意以B为根的子树（如果存在）的父节点改变了，但 P ≤ B ≤ Q 不会更改。

BSTVertex rotateLeft(BSTVertex T) // 先决条件：T的右子节点 T.right != null
  BSTVertex w = T.right // 右旋是这个的镜像
  w.parent = T.parent // 这个方法新手很难写对
  T.parent = w
  T.right = w.left
  if (w.left != null) w.left.parent = T
  w.left = T
  // 更新 T 和 w 的高度 height
  return w

基本上，只有这四种不平衡的情况。 我们使用Tree Rotation(树旋转)来处理它们中的每一个。

1. 只需像普通BST一样插入v，
   
2. 从插入点向上走AVL树回到根。每走一步，我们更新受影响顶点的高度和平衡因子：
   1. 如果有的话，停止在不平衡的第一个顶点（+2或-2），
      
   2. 使用四个树旋转案例中的一个来重新平衡它，例如 在上面的例子上尝试Insert(37)并通过调用 rotateLeft(29) 解决不平衡问题。
      

讨论：AVL Tree的 Insert(v) 操作是否还有其他树旋转情况？

1. 只需删除正常BST中的v（三个删除案例中的一个），
   
2. 在AVL树种从删除点向上走回根节点，每一步，我们都会更新受影响的顶点的高度和平衡因子：
   1. 现在，对于每个不平衡的顶点（+2或-2），我们使用四个树旋转情况中的一个来重新平衡它们（可能多于一个）。
      

与AVL树中的 Insert(v) 相比的主要区别在于，我们可能会多次触发四种可能的重新平衡情况中的一种，但不会超过 h = O(log N) 次 :O。在上面的示例中尝试Remove(7)，能看到连锁反应rotateRight(6) 然后rotateRight(16) + rotateLeft(8)。

我们现在看到AVL Tree如何定义高度平衡不变式，在 Insert(v) 和 Remove(v) 操作期间保持其对所有顶点成立，以及AVL Tree具有h <2 * log N的证明。
因此，到目前为止我们学到的所有BST操作（除了Inorder Traversal之外的更新和查询操作），如果它们具有 O(h) 的时间复杂度，如果我们使用AVL 树版本，它们的时间复杂度为 O(log N)。
本节电子讲座到这里就结束了，但是请切换到“探索模式”并尝试在AVL树模式下对Insert（v）和Remove（v）进行各种调用，以加强您对此数据结构的理解。

PS：如果你想研究这些看似复杂的AVL树（旋转）操作是如何在真实程序中实现的，你可以下载这个AVLDemo.cpp（必须与这个BSTDemo.cpp一起使用）。

有关此数据结构的一些有趣的问题，请在BST/AVL训练模块上练习（无需登录）。
但是，对于注册用户，您应该登录然后转到主培训页面以正式清除此模块，此类成就将记录在您的用户帐户中。

我们还有一些编程问题需要使用这种平衡的BST（如AVL Tree）数据结构：Kattis - compoundwords和Kattis - baconeggsandspam。
尝试使用它们来巩固和提高您对此数据结构的理解。 如果这样可以简化您的实现，则可以使用C ++ STL map / set或Java TreeMap / TreeSet。

尝试使用它们来巩固和提高您对此数据结构的理解。你可以使用 C++ STL map/set，Java TreeMap/TreeSet，或 OCaml Map/Set 来简化您的实现。请注意 Python 没有内置的平衡 BST 的实现。