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1. 比较与非比较策略，
   
2. 迭代与递归实现，
   
3. 分而治之范式（这个或这个），
   
4. 最佳/最差/平均情况时间复杂性分析，
   
5. 随机算法等

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1. 在数组 A 中搜索特定值 v，
   
2. 查找（静态）数组 A 中的最小/最大/第 k 个最小/最大值，
   
3. 测试唯一性并删除数组 A 中的重复项，
   
4. 计算特定值 v 在数组 A 中出现多少次，
   
5. 设置数组 A 和另一个排序数组 B 之间的交集/联合，
   
6. 寻找一个目标对 x∈A 和 y∈A，使得 x + y 等于目标 z 等。
   

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1. 完全随机的
2. 随机排序（按升序/降序排列），
3. 随机但几乎排序（按升序/降序排列）或
   
4. 完全由你自己定义。
   

第二个操作是最重要的操作：通过单击“Sort”菜单然后单击“Go”执行主动排序算法。
请记住，您可以通过单击此可视化页面顶部的相应缩写来切换活动算法。
一些排序算法有一些额外的选项。 在点击“开始”之前，您可以根据需要切换选项。 例如，在冒泡排序（和归并排序）中，还可以选择计算输入数组的反向指数（这是一个高级主题）。

为了节省屏幕空间，我们将算法名称缩写为三个字符:

1. 基于比较的排序算法:
   1. BUB - 冒泡排序,
   2. SEL - 选择排序,
   3. INS - 插入排序,
   4. MER - 归并排序 (递归实现),
   5. QUI - 快速排序 (递归实现),
   6. R-Q - 随机快速排序 (递归实现).
2. 不基于比较的排序算法:
   1. COU - 计数排序,
   2. RAD - 基数排序.

在接下来的幻灯片，我们将讨论三种基于比较的排序算法

1. 如果元素大小关系不正确，交换这两个数（在本例中为a> b），
   
2. 比较一对相邻元素（a，b），
   
3. 重复步骤1和2，直到我们到达数组的末尾（最后一对是第（N-2）和（N-1）项，因为我们的数组从零开始）
   
4. 到目前为止，最大的元素将在最后的位置。 然后我们将N减少1，并重复步骤1，直到N = 1。
   

比较和交换需要一个以常量为界的时间，我们称之为c。
（标准）Bubble Sort中有两个嵌套循环。
外循环正好运行N次迭代。 但内部循环运行变得越来越短：

1. 当 i = 0，（N-1）次迭代（比较和可能交换）时。
   
2. 当 i = 1，（N-2）次迭代时，...
   
3. 当 i =（N-2）时，1次迭代,
   
4. 当 i=（N-1），0迭代.

1. 在 [L ... N-1] 范围内找出最小项目 X 的位置，
   
2. 用第 L 项交换X，
   
3. 将下限 L 增加1并重复步骤1直到 L = N-2。
   

void selectionSort(int a[], int N) {
  for (int L = 0; L <= N-2; L++) { // O(N)
    int X = min_element(a+L, a+N) - a; // O(N)    swap(a[X], a[L]); // O(1), X 可能和 L 相等(就没有交换)
  }
}

复杂度: O(N²) — 实际上，这和冒泡排序很像。

插入排序类似于大多数人安排扑克牌的方式。

1. 从你手中的一张牌开始，
   
2. 选择下一张卡并将其插入到正确的排序顺序中，
   
3. 对所有的卡重复上一步。
   

不用多说，让我们在小例子阵列[40,13,20,8]上尝试Insertion Sort。

void insertionSort(int a[], int N) {
  for (int i = 1; i < N; i++) { // O(N)
    X = a[i]; // X is the item to be inserted
    int j = i-1;
    for (; j >= 0 && a[j] > X; j--) // can be fast or slow
      a[j+1] = a[j]; // make a place for X
    a[j+1] = X; // index j+1 is the insertion point
  }
}

1. 在最好的情况下，数组已经排序并且（a [j]> X）总是为假所以不需要移位数据，并且内部循环运行在O（1），
   
2. 在最坏的情况下，数组被反向排序并且（a [j]> X）始终为真插入始终发生在数组的前端，并且内部循环以O（N）运行。
   

Quiz: What is the complexity of Insertion Sort on any input array?

我们将在接下来的几张幻灯片中讨论两种（加一半）基于比较的排序算法：

1. 归并排序，
   
2. 快速排序和它的随机版本（只有一个变化）。
   

1. 将每对单个元素（默认情况下，已排序）归并为2个元素的有序数组，
   
2. 将2个元素的每对有序数组归并成4个元素的有序数组，重复这个过程......，
   
3. 最后一步：归并2个N / 2元素的排序数组（为了简化讨论，我们假设N是偶数）以获得完全排序的N个元素数组。

void merge(int a[], int low, int mid, int high) {
  // subarray1 = a[low..mid], subarray2 = a[mid+1..high], both sorted
  int N = high-low+1;
  int b[N]; // 讨论: 为什么我们需要一个临时的数组 b?
  int left = low, right = mid+1, bIdx = 0;
  while (left <= mid && right <= high) // 归并
    b[bIdx++] = (a[left] <= a[right]) ? a[left++] : a[right++];
  while (left <= mid) b[bIdx++] = a[left++]; // leftover, if any
  while (right <= high) b[bIdx++] = a[right++]; // leftover, if any
  for (int k = 0; k < N; k++) a[low+k] = b[k]; // copy back
}

在示例数组[1,5,19,20,2,11,15,17]上尝试Merge Sort，其前半部分已经排序[1,5,19,20]，其下半部分也已经排序[2 ，11,15,17]。 专注于合并排序算法的最后一次合并。

1. 划分步骤：将大的原始问题划分成较小的子问题并递归地解决较小的子问题，
   
2. 解决步骤：结合较小的子问题的结果来产生较大的原始问题的结果。
   

归并并排序是分而治之的排序算法。
划分步骤很简单：将当前数组分成两半（如果N是偶数，则将其完全平等，或者如果N是奇数，则一边稍大于一个元素），然后递归地对这两半进行排序。
解决步骤是最有效的工作：使用 前面讨论的

void mergeSort(int a[], int low, int high) {
  // 要排序的数组是 a[low..high]
  if (low < high) { // base case: low >= high (0 or 1 item)
    int mid = (low+high) / 2;	
    mergeSort(a, low  , mid ); // 分成一半
    mergeSort(a, mid+1, high); // 递归地将它们排序
    merge(a, low, mid, high); // 解决: 归并子程序
  }
}

无论输入的原始顺序如何，归并排序中最重要的部分是其O（N log N）性能保证。 就这样，没有任何敌手测试用例可以使归并排序对于任何N个元素数组运行比O（N log N）更长的时间。
因此，归并排序非常适合分类非常大量的输入，因为O（N log N）比前面讨论的O（N²）排序算法增长得慢得多。
归并排序也是一个稳定的排序算法。 讨论：为什么？
然而，归并排序有几个不太好的部分。 首先，从零开始实施起来并不容易（但我们不必这样做）。 其次，它在归并操作期间需要额外的O（N）存储，因此不是真正的存储效率和不到位。顺便说一句，如果你有兴趣看看为解决这些（经典）归并排序不那么好的部分做了什么，你可以阅读这个。

快速排序是另一个分而治之排序算法（另一个在这个可视化页面中讨论的是归并排序）。
我们将看到，这种确定性的，非随机化的快速排序的版本可能在对手输入中具有O（N2）的很差的时间复杂度，之后再继续随机化的和可用的版本。

划分步骤：选择一个项目 p（称为枢轴点）然后将 a[i..j] 的项目分为三部分：a [i..m-1]，a [m] 和 a[m + 1..j]。 a [i..m-1]（可能为空）包含小于 p 的项目。 a [m] 是枢轴点 p，例如：指数 m 是已排序数组 a 的排序顺序中 p 的正确位置。 a [m + 1..j]（可能为空）包含大于或等于 p 的项目。 然后，递归地对这两部分进行排序。
解决步骤：不要惊讶......我们什么都不做！
如果您将其与归并排序进行比较，您会发现快速排序的 D＆C 步骤与归并排序完全相反。

We will dissect this Quick Sort algorithm by first discussing its most important sub-routine: The O(N) partition (classic version).

To partition a[i..j], we first choose a[i] as the pivot p.

The remaining items (i.e. a[i+1..j]) are divided into 3 regions:

1. S1 = a[i+1..m] where items are < p,
2. S2 = a[m+1..k-1] where items are ≥ p, and
3. Unknown = a[k..j], where items are yet to be assigned to either S1 or S2.

Discussion: Why do we choose p = a[i]? Are there other choices?

Harder Discussion: Is it good to always put item(s) that is/are == p on S2 at all times?

int partition(int a[], int i, int j) {
  int p = a[i]; // p 是枢纽
  int m = i; // S1 和 S2 一开始是空的
  for (int k = i+1; k <= j; k++) { // 探索未知的区域
    if (a[k] < p) { // case 2
      m++;
      swap(a[k], a[m]); // C++ STL algorithm std::swap
    } // 注意：在情况1的时候我们什么不做: a[k] >= p
  }
  swap(a[i], a[m]); // 最后一步, 用a[m]交换枢纽
  return m; // 返回枢纽的指数, 用于快速排序（Quick Sort）
}

void quickSort(int a[], int low, int high) {
  if (low < high) {
    int m = partition(a, low, high); // O(N)
    // a[low..high] ~> a[low..m–1], pivot, a[m+1..high]
    quickSort(a, low, m-1); // 递归地将左子阵列排序
    // a[m] = pivot 在分区后就被排序好了
    quickSort(a, m+1, high); // 然后将右子阵列排序
  }
}

首先，我们分析跑一次分区的成本。
在内部分区（a，i，j）中，只有一个for循环遍历（j-i）次。 由于j可以和 N-1一样大，i 可以低至0，所以分区的时间复杂度是O（N）。
类似于归并排序分析，快速排序的时间复杂度取决于分区（a，i，j）被调用的次数。

在这种最坏情况的输入场景中，会发生以下情况：

当分区总是将数组分成两个相等的一半时，就会发生快速排序的最佳情况，如归并排序。
当发生这种情况时，递归的深度只有O（log N）。
由于每个级别进行O（N）比较，时间复杂度为O（N log N）。
在这个手工制作的示例输入数组[4,1,3,2,6,5,7]上尝试Quick Sort。 在实践中，这很少见，因此我们需要设计一个更好的方法：随机快速排序。

除了执行分区算法之外，它与快速排序相同，它随机选择 a[i..j] 之间的枢轴，而不是始终选择 a[i]（或 a[i..j]之间的任何其他固定索引）。
尝试Random Quick Sort这个大，但也有点随机的示例数组。
小练习：将上面的想法贯彻到本幻灯片中的实现中！

在接下来的幻灯片，我们将讨论两种不基于比较的排序算法:

1. 计数排序,
2. 基数排序.

这些排序算法可以通过不比较数组的项目来比时间复杂度为Ω（N log N）的基于比较的排序算法的下限更快。

我们都知道（在这个可视化中也没有证明，因为它需要花费一个小时的讲座来证明），所有基于比较的排序算法都具有Ω（N log N）的下限时间复杂度。
因此，任何具有最坏情况复杂度O（N log N）的基于比较的排序算法（如归并排序）都被认为是最优算法，即我们不能做得比这更好。
然而，如果存在输入数组的某些假设，我们可以避免比较这些项目来确定排序顺序， 然后实现更快的排序算法 - 比如在O（N）中

假设：如果要排序的项目是大范围但小数位的整数，我们可以将计数排序（Counting Sort）思想与基数排序（Radix Sort）结合起来，以实现线性时间复杂度。
在基数排序中，我们将每个项目排序为一个 w 数字串（如果需要，我们填充小于w数字的前几个零的整数）。
对于最低有效位（最右边）到最高有效位（最左边），我们通过 N 个项目并将它们按照活动数字放到10个队列中（每个数字[0..9]一个），就好像 一个修改的计数排序，因为这保留了稳定性。 然后我们再次重新连接组，以便进行后续迭代。
请尝试上面示例数组的Radix Sort来了解更清晰的解释。
请注意，我们只执行O（w×（N + k））次迭代。 在这个例子中，w = 4，k = 10。

如果排序算法在排序过程中仅需要恒定量（即，O（1））的额外空间，则称其为就地排序算法。就是这样，少量的额外变量的常量是可以的，但我们不允许具有可变长度的变量，这取决于输入大小N.
归并排序，由于其合并子例程需要额外的大小为N的临时数组，因此不在原位。
讨论：冒泡排序，选择排序，插入排序，快速排序（是否随机），计数排序和基数排序如何？哪些是就地？

我们已经到了最后的排序的电子讲座。
但是，VisuAlgo中还有另外两种嵌入在其他数据结构中的排序算法：堆排序和平衡BST排序。 我们将在这两个数据结构的电子讲座里面讨论它们。

实际上，许多这些基本排序算法的C ++源代码已经分散在这些电子讲座幻灯片中。对于其他编程语言，您可以将给定的C ++源代码翻译为其他编程语言。
通常，排序只是问题解决过程中的一小部分，而现在大多数编程语言都有自己的排序功能，所以除非绝对必要，否则我们不必重新编码它们。
在C ++中，您可以在STL算法中使用std::sort，std::stable_sort 或 std::partial_sort。
在Python中，您可以使用sort。
在Java中，您可以使用Collections.sort。
如果比较函数是针对特定问题的，我们可能需要为这些内置的排序例程提供额外的比较函数。

现在您已经到了电子讲座的最后部分，您认为排序问题与调用内置排序例程一样简单吗？
尝试这些在线评判问题以了解更多信息：
Kattis - mjehuric
Kattis - sortofsorting，或者
Kattis - sidewayssorting
这不是排序算法的最后部分。 当您在VisuAlgo中探索其他主题时，您会意识到排序是许多其他高难度问题的高级算法的预处理步骤，例如， 作为克鲁斯卡尔算法（Kruskal's algorithm）的预处理步骤，创造性地用于后缀数组（Suffix Array ）数据结构等。

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