7    VisuAlgo.net / /fenwicktree Login Pohon Fenwick (Update Titik Query Jarak) (RU PQ) (RU RQ)
Mode Eksplorasi ▿

>

>
pelan
cepat
go to beginning previous frame pause play next frame go to end

A Binary Indexed (Fenwick) Tree is a data structure that provides efficient methods for implementing dynamic cumulative frequency tables (described in the next slide).


In this visualization, we will refer to this data structure using the term Fenwick Tree as the abbreviation 'BIT' of Binary Indexed Tree is usually associated with bit manipulation.


Remarks: By default, we show e-Lecture Mode for first time (or non logged-in) visitor.
Please login if you are a repeated visitor or register for an (optional) free account first.

X Esc
Berikut PgDn

Suppose that we have a multiset of integers s = {2,4,5,6,5,6,8,6,7,9,7} (not necessarily sorted). There are m = 11 elements in s. Also suppose that the largest integer that we will ever use is n = 10 and we never use integer 0. For example, these integers represent student (integer) scores from [1..10]. Notice that m is independent of n.


We can create a frequency table f from s with a trivial O(m) time loop. We can then create cumulative frequency table cf from frequency table f in O(n) time using technique similar to DP 1D prefix sum.


Index/Score/SymbolFrequency fCumulative Frequency cf
0-- (index 0 is ignored)
100
211
301
412
524 == cf[4]+f[5]
637 == cf[5]+f[6]
729
8110
9111
10 == n011 == m

Pro-tip: Since you are not logged-in, you may be a first time visitor who are not aware of the following keyboard shortcuts to navigate this e-Lecture mode: [PageDown] to advance to the next slide, [PageUp] to go back to the previous slide, [Esc] to toggle between this e-Lecture mode and exploration mode.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

With such cumulative frequency table cf, we can perform Range Sum Query: rsq(i, j) to return the sum of frequencies between index i and j (inclusive), in efficient O(1) time, again using the DP 1D prefix sum (i.e. the inclusion-exclusion principle). For example, rsq(5, 9) = rsq(1, 9) - rsq(1, 4) = 11-2 = 9.


Index/Score/SymbolFrequency fCumulative Frequency cf
0-- (index 0 is ignored)
100
211
301
412 == rsq(1, 4)
524
637
729
8110
9111 == rsq(1, 9)
10 == n011 == m

Another pro-tip: We designed this visualization and this e-Lecture mode to look good on 1366x768 resolution or larger (typical modern laptop resolution in 2017). We recommend using Google Chrome to access VisuAlgo. Go to full screen mode (F11) to enjoy this setup. However, you can use zoom-in (Ctrl +) or zoom-out (Ctrl -) to calibrate this.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

A dynamic data structure need to support (frequent) updates in between queries. For example, we may update (add) the frequency of score 7 from 2 → 5 and update (subtract) the frequency of score 9 from 1 → 0, thereby updating the table into:


Index/Score/SymbolFrequency fCumulative Frequency cf
0-- (index 0 is ignored)
100
211
301
412
524
637
72 → 59 → 12
8110 → 13
91 → 011 → 13
10 == n011 → 13 == m

A pure array based data structure will need O(n) per update operation. Can we do better?

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Introducing: Fenwick Tree data structure.


There are three mode of usages of Fenwick Tree in this visualization.


The first mode is the default Fenwick Tree that can handle both Point Update (PU) and Range Query (RQ) in O(log n) where n is the largest index/key in the data structure. Remember that the actual number of keys in the data structure is denoted by another variable m. We abbreviate this default type as PU RQ that simply stands for Point Update Range Query.


This clever arrangement of integer keys idea is the one that originally appears in Peter M. Fenwick's 1994 paper.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

You can click the 'Create' menu to create a frequency array f where f[i] denotes the frequency of appearance of key i in our original array of keys s.


IMPORTANT: This frequency array f is not the original array of keys s. For example, if you enter {0,1,0,1,2,3,2,1,1,0}, it means that you are creating 0 one, 1 two, 0 three, 1 four, ..., 0 ten (1-based indexing). The largest index/integer key is n = 10 in this example as in the earlier slides.


If you have the original array s of m elements, e.g. {2,4,5,6,5,6,8,6,7,9,7} from earlier slides (s does not need to be necessarily sorted), you can do an O(m) pass to convert s into frequency table f of n indices/integer keys. (We will provide this alternative input method in the near future).


You can click the 'Randomize' button to generate random frequencies.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Although conceptually this data structure is a tree, it will be implemented as an integer array called ft that ranges from index 1 to index n (we sacrifice index 0 of our ft array) The values inside the vertices of the Fenwick Tree shown above are the values stored in the 1-based Fenwick Tree ft array.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

The values inside the vertices at the bottom are the values of the data (the frequency array f).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

The value stored in index i in array ft, i.e. ft[i] is the cumulative frequency of keys in range [i-LSOne(i)+1 .. i]. Visually, this range is shown by the edges of the Fenwick Tree. For details of LSOne(i) operation, see our bitmask visualization page.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

The function rsq(j) returns the cumulative frequencies from the first index 1 (ignoring index 0) to index j.


This value is the sum of sub-frequencies stored in array ft with indices related to j via this formula j' = j-LSOne(j). This relationship forms a Fenwick Tree, specifically, the 'interrogation tree' of Fenwick Tree.


We apply this formula iteratively until j is 0. (We will add that dummy vertex 0 later).


Discussion: Do you understand what does this function compute?


This function runs is O(log n), regardless of m. Discussion: Why?

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

rsq(i, j) returns the cumulative frequencies from index i to j, inclusive.


If i = 1, the previous slide is sufficient.
If i > 1, we simply need to return: rsq(j)–rsq(i–1).


Discussion: Do you understand the reason?


This function also runs in O(log n), regardless of m. Discussion: Why?

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

To update the frequency of a key (an index) i by v (v is either positive or negative; |v| does not necessarily be one), we use update(i, v).


Indices that are related to i via i' = i+LSOne(i) will be updated by v when i < ft.size() (Note that ft.size() is N+1 (as we ignore index 0). These relationships form a variant of Fenwick Tree structure called the 'updating tree'.


Discussion: Do you understand this operation and on why we avoided index 0?


This function also runs in O(log n), regardless of m. Discussion: Why?

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Mode kedua dari Pohon Fenwick ini adalah mode yang dapat melakukan Range Update (RU) tetapi hanya dapat melakukan Point Query (PQ) dalam O(log N).


Kita menyingkat tipe ini sebagai RU PQ.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
Buatlah sebuah array dan cobalah jalankan algoritma Update Range atau Query Point padanya. Pembuatan data untuk tipe ini berarti memasukkan beberapa interval. Sebagai contoh, juka anda memasukkan [2,4],[3,5], itu berarti kita meng-update range 2 hingga 4 dengan +1 serta range 3 hingga 5 dengan +1 pula. Frekuensi yang dihasilkan adalah: 0,1,2,2,1 yang berarti 0 nilai 1, 1 nilai 2, 2 nilai 3, 2 nilai 4, dan 1 nilai 5.
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Simpul-simpul diatas menunjukan nilai-nilai yang disimpan dalam Pohon Fenwick (larik ft).


Simpul-simpul dibawah menunjukkan nilai-nilai dari data (tabel frekuensi f).


Catat modifikasi pintar dari Pohon Fenwick yang digunakan dalam tipe RU PQ ini: Kita menambah awal dari range sebesar +1 tetapi mengurangi satu indeks setelah akhir dari range sebesar -1 untuk mencapai hasil ini.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Mode ketiga dari Pohon Fenwick ini adalah mode yang dapat melakukan Range Update (RU) dan Range Query (RQ) dalam O(log N), sehingga mode ini berjalan se-efisien Pohon Segmen dengan Lazy Update yang juga dapat melakukan RU RQ dalam O(log N).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Buatlah datanya dan coba jalankan algoritma Range Update atau Range Query pada data tersebut.


Pembuatan data dapat dilakukan dengan memasukkan beberapa interval seperti dalam versi RU PQ. Namun, kali ini anda juga melakukan Range Query secara efisien.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

In Range Update Range Query Fenwick Tree, we need to have two Fenwick Trees. The vertices at the top shows the values of the first Fenwick Tree (BIT1[] array), the vertices at the middle shows the values of the second Fenwick Tree (BIT2[] array), while the vertices at the bottom shows the values of the data (the frequency table). The first Fenwick Tree behaves the same as in RU PQ version. The second Fenwick Tree is used to do clever offset to allow Range Query again.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
Kita memiliki beberapa hal-hal ekstra berhubungan dengan struktur data ini.
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

Sayangnya, struktur data ini belum tersedia di C++ STL, Java API, atau Python Standard Library pada tahun 2018. Maka, kita perlu menulis implementasi kita sendiri.


Sebuah kopi dari implementasi Fenwick Tree dapat ditemukan didalam ch2.zip dari halaman unduh buku Competitive Programming.

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
Selagi aksi dijalankan, tiap langkahnya akan dijelaskan pada panel status.
X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn

e-Lecture: The content of this slide is hidden and only available for legitimate CS lecturer worldwide. Drop an email to visualgo.info at gmail dot com if you want to activate this CS lecturer-only feature and you are really a CS lecturer (show your University staff profile).

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
Kendalikan animasi dengan tombol kendali! Terdapat pula shortcut melalui keyboard:
Spasi: play/pause/replay
Panah kanan/kiri: maju ke depan/belakang
-/+: turunkan/tingkatkan kecepatan

X Esc
Sebelum PgUp
Berikut PgDn
Kembali ke 'Mode Eksplorasi' untuk memulai eksplorasi!

Harap diingat bahwa jika anda menemukan bug pada visualisasi ini atau bila anda ingin meminta fitur / visualisasi baru, jangan segan-segan untuk menghubungi pemimpin proyek ini: Dr Steven Halim melalui alamat emailnya: stevenhalim at gmail dot com.
X Esc
Sebelum PgUp

Buat

RSQ / Query

Update

>

Lakukan

Buat acak

pos =

nilai +=

Lakukan

L =

R =

Lakukan

Lakukan

Buat acak

L =

R =

nilai +=

Lakukan

pos =

Lakukan

Lakukan

Buat acak

L =

R =

nilai +=

Lakukan

L =

R =

Lakukan

Tentang Tim Syarat Guna

Tentang

VisuAlgo digagas pada tahun 2011 oleh Dr Steven Halim sebagai alat untuk membantu murid-muridnya mengerti struktur data dan algoritma dengan memampukan mereka untuk mempelajari dasar-dasar struktur data dan algoritma secara otodidak dan dengan kecepatan mereka sendiri.


VisuAlgo mempunya banyak algoritma-algoritma tingkat lanjut yang dibahas didalam buku Dr Steven Halim ('Competitive Programming', yang ditulis bersama adiknya Dr Felix Halim) dan lebih lagi. Hari ini, beberapa dari visualisasi/animasi algoritma-algoritma tingkat lanjut ini hanya ditemukan di VisuAlgo.


Meskipun pada khususnya didesain untuk murid-murid National University of Singapore (NUS) yang mengambil berbagai kelas-kelas struktur data dan algoritma (contoh: CS1010, CS1020, CS2010, CS2020, CS3230, dan CS3233), sebagai pendukung pembelajaran online, kami berharap bahwa orang-orang di berbagai belahan dunia menemukan visualisasi-visualisasi di website ini berguna bagi mereka juga.


VisuAlgo tidak didesain untuk layar sentuh kecil (seperti smartphones) dari awalnya karena kami harus membuat banyak visualisasi-visualisasi algoritma kompleks yang membutuhkan banyak pixels dan gestur klik-dan-tarik untuk interaksinya. Resolusi layar minimum untuk pengalaman pengguna yang lumayan adalah 1024x768 dan hanya halaman utama VisuAlgo yang secara relatif lebih ramah dengan layar kecil.


VisuAlgo adalah proyek yang sedang terus berlangsung dan visualisasi-visualisasi yang lebih kompleks sedang dibuat.


Perkembangan yang paling menarik adalah pembuatan pertanyaan otomatis (sistem kuis online) yang bisa dipakai oleh murid-murid untuk menguji pengetahuan mereka tentang dasar-dasar struktur data dan algoritma. Pertanyaan-pertanyaan dibuat secara acak dengan semacam rumus dan jawaban-jawaban murid-murid dinilai secara instan setelah dikirim ke server penilai kami. Sistem kuis online ini, saat sudah diadopsi oleh banyak dosen Ilmu Komputer diseluruh dunia, seharusnya bisa menghapuskan pertanyaan-pertanyaan dasar tentang struktur data dan algoritma dari ujian-ujian di banyak Universitas. Dengan memberikan bobot kecil (tapi tidak kosong) supaya murid-murid mengerjakan kuis online ini, seorang dosen Ilmu Komputer dapat dengan signifikan meningkatkan penguasaan materi dari murid-muridnya tentang pertanyaan-pertanyaan dasar ini karena murid-murid mempunyai kesempatan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini yang bisa dinilai secara instan sebelum mereka mengambil kuis online yang resmi. Mode latihan saat ini mempunyai pertanyaan-pertanyaan untuk 12 modul visualisasi. Kami akan segera menambahkan pertanyaan-pertanyaan untuk 8 modul visualisasi lainnya sehingga setiap every modul visualisasi di VisuAlgo mempunyai komponen kuis online.


Cabang pengembangan aktif lainnya adalah sub-proyek penerjemahan dari VisuAlgo. Kami mau menyiapkan basis data kosa kata Ilmu Komputer dalam bahasa Inggris yang digunakan di sistem VisuAlgo. Ini adalah pekerjaan besar yang membutuhkan crowdsourcing. Saat sistem tersebut siap, kami akan mengundang beberapa dari anda untuk berkontribusi, terutama bila bahasa Inggris bukan bahasa ibu anda. Saat ini, kami juga telah menulis catatan-catatan publik tentang VisuAlgo dalam berbagai bahasa:
zh, id, kr, vn, th.

Tim

Pemimpin & Penasihat Proyek (Jul 2011-sekarang)
Dr Steven Halim, Senior Lecturer, School of Computing (SoC), National University of Singapore (NUS)
Dr Felix Halim, Software Engineer, Google (Mountain View)

Murid-Murid S1 Peniliti 1 (Jul 2011-Apr 2012)
Koh Zi Chun, Victor Loh Bo Huai

Murid-Murid Proyek Tahun Terakhir/UROP 1 (Jul 2012-Dec 2013)
Phan Thi Quynh Trang, Peter Phandi, Albert Millardo Tjindradinata, Nguyen Hoang Duy

Murid-Murid Proyek Tahun Terakhir/UROP 2 (Jun 2013-Apr 2014)
Rose Marie Tan Zhao Yun, Ivan Reinaldo

Murid-Murid S1 Peniliti 2 (May 2014-Jul 2014)
Jonathan Irvin Gunawan, Nathan Azaria, Ian Leow Tze Wei, Nguyen Viet Dung, Nguyen Khac Tung, Steven Kester Yuwono, Cao Shengze, Mohan Jishnu

Murid-Murid Proyek Tahun Terakhir/UROP 3 (Jun 2014-Apr 2015)
Erin Teo Yi Ling, Wang Zi

Murid-Murid Proyek Tahun Terakhir/UROP 4 (Jun 2016-Dec 2017)
Truong Ngoc Khanh, John Kevin Tjahjadi, Gabriella Michelle, Muhammad Rais Fathin Mudzakir

List of translators who have contributed ≥100 translations can be found at statistics page.

Ucapan Terima Kasih
Proyek ini dimungkinkan karena Hibah Pengembangan Pengajaran dari NUS Centre for Development of Teaching and Learning (CDTL).

Syarat Guna

VisuAlgo bebas biaya untuk komunitas Ilmu Komputer di dunia. Jika anda menyukai VisuAlgo, satu-satunya pembayaran yang kami minta dari anda adalah agar anda menceritakan keberadaan VisuAlgo kepada murid-murid/dosen-dosen Ilmu Komputer yang anda tahu =) lewat Facebook, Twitter, situs mata kuliah, ulasan di blog, email, dsb.


Jika anda adalah murid/dosen struktur data dan algoritma, anda diijinkan untuk menggunakan situs ini secara langsung di kelas-kelas anda. Jika anda mengambil screen shots (video-video) dari situs ini, anda dapat menggunakan screen shots (video-video) tersebut ditempat lain asalkan anda menyebut URL dari situs ini (http://visualgo.net) dan/atau daftar publikasi dibawah ini sebagai referensi. Tetapi, anda TIDAK diijinkan untuk mengunduh berkas-berkas VisuAlgo (sisi-klien) dan memasangnya di situs anda sendiri karena itu dikategorikan sebagai plagiat. Saat ini, kami TIDAK mengijinkan orang lain untuk membuat cabang/varian dari proyek VisuAlgo ini. Menggunakan kopi offline (sisi-klien) dari VisuAlgo untuk kepentingan pribadi diijinkan.


Ingat bahwa komponen kuis online dari VisuAlgo secara natur membutuhkan sisi-server dan tidak bisa dengan mudah disimpan di komputer lokal. Saat ini, publik hanya bisa menggunkaan 'mode latihan' untuk mengakses sistem kuis online. Saat ini, 'mode ujian' adalah sistem untuk mengakses pertanyaan-pertanyaan acak ini yang digunakan untuk ujian resmi di NUS. Dosen-dosen Ilmu Komputer yang lain harus menghubungi Steven jika anda mau mencoba 'mode ujian' tersebut.


Dafatar Publikasi


Karya ini telah dipresentasikan singkat pada CLI Workshop sewaktu ACM ICPC World Finals 2012 (Poland, Warsaw) dan pada IOI Conference di IOI 2012 (Sirmione-Montichiari, Italy). Anda bisa mengklik link ini untuk membaca makalah kami tahun 2012 tentang sistem ini (yang belum disebut sebagai VisuAlgo pada tahun 2012 tersebut).


Karya ini dibuat denbgan bantuan bekas murid-murid saya. Laporan-laporan proyek yang cukup mutakhir bisa dibaca disini: Erin, Wang Zi, Rose, Ivan.


Laporan Bug atau Meminta Fitur Baru


VisuAlgo bukanlah proyek yang sudah selesai. Dr Steven Halim masih aktif dalam mengembangkan VisuAlgo. Jika anda adalah pengguna VisuAlgo dan menemukan bug di halaman visualisasi/sistem kuis online atau jika anda mau meminta fitur baru, silahkan hubungi Dr Steven Halim. Alamat emailnya adalah gabungan dari namanya dan tambahkan gmail titik com.