Pada masalah Jalur-Jalur Terpendek Sumber-Tunggal (Single-Source Shortest Paths, SSSP), kita bertujuan untuk menemukan bobot jalur-jalur terpendek dari sebuah simpul sumber-tunggal (dan juga jalur-jalur tersebut) ke semua simpul lainnya dalam sebuah graf terarah dan berbobot (bila jalur-jalur tersebut ada).
SSSP is one of the most frequent graph problem encountered in real-life. Every time we want to move from one place (usually our current location) to another (our destination), we will try to pick a short — if not the shortest — path.
SSSP algorithm(s) is embedded inside various map software like Google Maps and in various Global Positioning System (GPS) tool.
Input 1: A directed weighted graph G(V, E), not necessarily connected, where V/vertices can be used to describe intersections, junctions, houses, landmarks, etc and E/edges can be used to describe streets, roads, avenues with proper direction and weight/cost.
Input 2: As the name implies, the SSSP problem has another input: A source vertex s ∈ V.
The objective of the SSSP problem is to find the shortest path weight from s to each vertex u ∈ V, denoted as δ(s, u) (δ is pronounced as 'delta') and also the actual shortest path from s to u.
The path weight of a path p is simply the summation of edge weights along that path.
The weight of the shortest path from s to s is trivial: 0.
The weight of the shortest path from s to any unreachable vertex is also trivial: +∞.
PS: The weight of the shortest path from s to v where (s, v) ∈ E does not necessarily the weight of w(s, v). See the next few slides to realise this.
Keluaran-keluaran dari semua enam (6) algoritma-algoritma SSSP untuk masalah SSSP yang didiskusikan dalam visualisasi ini adalah kedua larik/Vector berikut:
Initially, D[u] = +∞ (practically, a large value like 109) ∀u ∈ V\{s}, but D[s] = D[0] = 0.
Initially, p[u] = -1 (to say 'no predecessor') ∀u ∈ V.
Now click — don't worry about the details as they will be explained later — and wait until it is over (approximately 10s on this small graph).
At the end of that SSSP algorithm, D[s] = D[0] = 0 (unchanged) and D[u] = δ(s, u) ∀u ∈ V
e.g. D[2] = 6, D[4] = 7 (these values are stored as red text under each vertex).
At the end of that SSSP algorithm, p[s] = p[0] = -1 (the source has no predecessor), but p[v] = the origin of the red edges for the rest, e.g. p[2] = 0, p[4] = 2.
Thus, if we are at s = 0 and want to go to vertex 4, we will use shortest path 0 → 2 → 4 with path weight 7.
Beberapa graf memiliki sisi(-sisi) berbobot negatif (tidak harus bersiklus) dan/atau siklus(-siklus) berbobot negatif. Contohnya (fiksi): Misalkan anda dapat berjalan maju dalam waktu (normal, sisi-sisi dengan bobot positif) atau mundur dalam waktu dengan melalui terowongan waktu (sisi-sisi wormhole spesial dengan bobot negatif), seperti yang ditunjukkan diatas.
Pada graf tersebut, jalur-jalur terpendek dari simpul sumber s = 0 ke simpul-simpul {1, 2, 3} semuanya tidak-jelas. Contohnya 1 → 2 → 1 adalah sebuah siklus berbobot negatif karena memiliki bobot total jalur (siklus) negatif sebesar 15-42 = -27. Oleh karena itu kita bisa berputar-putar didalam siklus berobot negatif 0 → 1 → 2 → 1 → 2 → ... selamanya untuk mendapatkan bobot jalur terpendek yang tidak-jelas sebesar -∞.
Tetapi, sadari bahwa jalur terpendek dari simpul sumber s = 0 ke simpul 4 sebenarnya ok dengan δ(0, 4) = -99. Jadi keberadaan sisi(-sisi) berbobot negatif bukanlah isu utama. Isu utama adalah keberadaan siklus(-siklus) berbobot negatif yang bisa terjangkau dari simpul sumber s.
Operasi utama untuk semua algoritma-algoritma SSSP yang dibahas di visualisasi ini adalah operasi relax(u, v, w(u, v)) dengan pseudo-code sebagai berikut:
relax(u, v, w_u_v)
if D[v] > D[u]+w_u_v // if jalurnya bisa diperpendek
D[v] = D[u]+w_u_v // kita 'relax' sisi ini
p[v] = u // ingat/mutakhirkan pendahulu
// mutakhirkan struktur data lainnya seperlunya
Contohnya, lihat operasi relax(1,2,4) di gambar dibawah:
There are two different sources for specifying an input graph:
Dalam visualisasi ini, kita akan membahas 6 (ENAM) algoritma-algoritma SSSP.
Kita akan mulai dengan algoritma O(V×E) Bellman-Ford terlebih dahulu karena algoritma ini adalah algoritma SSSP yang paling serba guna (tetapi juga yang terlambat). Kita lalu akan membahas 5 (LIMA) algoritma-algoritma lainnya (termasuk dua varian dari algoritma Dijkstra) yang menyelesaikan kasus-kasus spesial dari masalah-masalah SSSP dalam waktu yang jauh lebih cepat.
Algoritma Bellman-Ford yang serba guna dapat digunakan untuk menyelesaikan seluruh varian masalah SSSP yang valid (kecual satu — yang tidak jelas, akan dibahas segera), meskipun waktu yang cukup lambat O(V×E). Algoritma ini juga memiliki pseudo-code yang sangat sederhana:
for i = 1 to |V|-1 // O(V) disini, jadi O(V×E×1) = O(V×E)
for each edge(u, v) ∈ E // O(E) disini, misalkan dengan Daftar Sisi
relax(u, v, w(u, v)) // O(1) disini
Tanpa basa-basi lagi, mari lihat sekilas bagaimana algoritma ini bekerja pada graf contoh diatas dengan mengklik (≈30s, dan untuk saat ini, tolong abaikan loop tambahan yang ada di bagian bawah dari pseudo-code).
Algoritma Bellman-Ford bisa dibuat untuk berjalan sedikit lebih cepat pada graf masukan normal, dari kasus terjelek O(V×E) ke hanya (k×E) dimana k adalah jumlah iterasi dari loop luar Bellman Ford.
Diskusi: Bagaimana caranya melakukan ini? Apakah percepatan ini signifikan?
Untuk meyakinkan pembaca diseluruh dunia bahwa algoritma Bellman-Ford benar, mari sementara berpindah dari mode visualisasi ke mode pembuktian pada beberapa slide selanjutnya.
Teorema 1: Jika G = (V, E) tidak memiliki siklus berbobot negatif, maka jalur terpendek p dari simpul sumber s ke sebuah simpul v pastilah sebuah jalur sederhana.
Ingat: Sebuah jalur sederhana adalah sebuah jalur p = {v0, v1, v2, ..., vk}, (vi, vi+1) ∈ E, ∀ 0 ≤ i ≤ (k-1) dan tidak ada simpul yang diulang sepanjang jalur ini.
Dengan kata lain, jalur terpendek p memiliki paling banyak |V|-1 sisi-sisi dari simpul sumber s ke simpul 'yang paling jauh' v dalam G (mengenai jumlah sisi-sisi pada jalur terpendek — lihat contoh Bellman-Ford Killer diatas).
Teorema 2: Jika G = (V, E) tidak memiliki siklus berbobot negatif, maka setelah algoritma Bellman-Ford berhenti, kita akan mempunyai D[v] = δ(s, u), ∀ u ∈ V.
Untuk ini, kita akan menggunakan Pembuktian Induksi (Proof by Induction) dan inilah poin-poin awalnya:
Pertimbangkan jalur terpendek p dari simpul sumber s ke simpul vi dimana vi didefinisikan sebagai sebuah simpul dimana jalur terpendek sesungguhnya untuk mencapai simpul tersebut membutuhkan i loncatan (sisi) dari simpul sumber s. Ingat kembali dari Teorema 1 bahwa p adalah sebuah jalur sederhana karena kita memiliki asumsi yang sama tentang tidak adanya siklus berbobot negatif.
Cobalah jalankan pada contoh 'Bellman-Ford Killer' diatas. Ada V = 7 simpul-simpul dan E = 6 sisi-sisi tetapi daftar sisi E dikonfigurasikan dengan urutan yang paling jelek. Sadari bahwa setelah (V-1)×E = (7-1)*6 = 36 operasi-operasi (~40s, sabarlah), Bellman-Ford akan berhenti dengan jawaban yang benar dan tidak mungkin kita bisa memberhentikan algoritma Bellman-Ford lebih cepat.
Satu-satunya graf masukan yang algoritma Bellman-Ford memiliki isu adalah graf masukan dengan siklus berbobot negatif yang terjangkau dari simpul sumber s.
Tetapi, Bellman-Ford dapat digunakan untuk mendeteksi apabila graf masukan memiliki setidaknya satu siklus berbobot negatif yang terjangkau dari simpul sumber s dengan menggunakan akibat wajar dari Teorema 2: Jika setidaknya satu nilai D[v] gagal converge setelah |V|-1 pass, maka pastilah ada siklus berbobot-negatif yang terjangkau dari simpul sumber s.
Sekarang jalankan pada graf contoh yang memiliki sisi-sisi negatif dan sebuah siklus negatif. Silahkan konsentrasi pada loop dibawah pseudo-code.
Kadang-kadang, masalah sebenarnya yang kita hadapi bukanlah bentuk umum dari masalah orisinalnya. Oleh karena itu dalam Kuliah Maya ini, kami mau menyorot lima (5) kasus-kasus spesial berhubungan dengan masalah SSSP. Ketika kita berhadapan dengan salah satu dari mereka, kita bisa menyelesaikannya dengan algoritma berbeda dan (jauh) lebih cepat dibandingkan dengan algoritma generik O(V×E) Bellman Ford. Mereka adalah:
Algoritma O(V+E) Breadth-First-Search (BFS) dapat menyelesaikan kasus spesial dari masalah SSSP, yaitu ketika graf masukannya tidak berbobot (seluruh sisi memiliki bobot 1, coba pada contoh 'CP3 4.3' diatas) atau berbobot konstan positif (semua sisi memiliki bobot konstan yang sama, yaitu anda dapat mengubah semua bobot-bobot sisi dari graf contoh diatas dengan bobot konstan positif pilihan anda).
Ketika grafnya tidak-berbobot — ini muncul cukup sering dalam kehidupan nyata — masalah SSSP dapat dilihat sebagai sebuah masalah untuk mencari jumlah sisi-sisi tersedikit yang dikunjungi dari simpul sumber s ke simpul-simpul lainnya.
Pohon perentang BFS dari simpul sumber s yang diproduksi oleh algoritma O(V+E) BFS yang cepat — sadari simbol + — secara cocok memenuhi kebutuhan.
Bandingkan dengan O(V×E) dari Bellman-Ford — sadari simbol × — adalah tepat untuk menggunakan BFS untuk kasus spesial dari masalah SSSP ini.
Dibandingkan dengan BFS standar dalam modul Penjelajahan Graf, kita melakukan modifikasi-modifikasi sederhana untuk membuat BFS bisa menyelesaikan versi tidak berbobot dari masalah SSSP:
Tetapi, BFS akan sangat mungkin memberikan jawaban salah ketika dijalankan pada graf berbobot karena BFS tidak didesain untuk menyelesaikan versi berbobot dari masalah SSSP. Mungkin ada kasus dimana mengambil jalur dengan jumlah sisi-sisi yang lebih banyak memproduksi bobot jalur total yang lebih rendah daripada mengambil jalur dengan jumlah sisi-sisi paling sedikit — yang adalah keluaran dari algoritma BFS.
Dalam visualisasi ini, kami akan mengijinkan anda untuk menjalankan BFS bahkan pada graf masukan yang 'salah' untuk alasan pedagogis, tetapi kami akan menampilkan pesan peringatan di akhir algoritma. Contohnya, coba pada graf umum diatas dan anda akan melihat bahwa simpul-simpul {3,4} akan memiliki nilai-nilai D[3] dan D[4] yang salah (dan juga nilai-nilai p[3] dan p[4]).
Kita akan segera melihat algoritma Dijkstra (2 varian implementasi) untuk menyelesaikan masalah-masalah SSSP tertentu jauh lebih cepat daripada algoritma Bellman-Ford yang lebih umum.
The O((V+E) log V) Dijkstra's algorithm is the most frequently used SSSP algorithm for typical input: Directed weighted graph that has no negative weight edge, formally: ∀edge(u, v) ∈ E, w(u, v) ≥ 0. Such weighted graph (especially the positive weighted ones) is very common in real life as travelling from one place to another always use positive time unit(s). Try on one of the Example Graphs: CP4 4.16 shown above.
Dijkstra's algorithm maintains a set R(esolved) — other literature use set S(olved) but set S and source vertex s are too close when pronounced — of vertices whose final shortest path weights have been determined. Initially R = {}, empty.
Then, it repeatedly selects vertex u in {V\\R} (can also be written as {V-R}) with the minimum shortest path estimate (the first vertex selected is u = s as initially only D[s] = 0 and the other vertices have D[u] = ∞), adds u to R, and relaxes all outgoing edges of u. Detailed proof of correctness of this Dijkstra's algorithm is usually written in typical Computer Science algorithm textbooks and we replicate it in the next few slides. For a simpler intuitive visual explanation on why this greedy strategy works, see this.
For efficient implementation, this entails the use of a Priority Queue as the shortest path estimates keep changing as more edges are processed. The choice of relaxing edges emanating from vertex with the minimum shortest path estimate first is greedy, i.e., use the "best so far", but we will see later that it can be proven (with loop invariants) that it will ends up with an optimal result — if the graph has no negative weight edge.
Dalam algoritma Dijkstra, setiap simpul hanya akan diekstrak dari Antrean Berprioritas (Priority Queue, PQ) sekali saja. Karena ada V sisi-sisi, kita akan melakukan ini paling banyak O(V) kali.
Operasi EkstrakMin() berjalan dalam O(log V) tidak masalah apakah PQnya diimplementasikan menggunakan sebuah Timbunan Biner Minimum atau menggunakan sebuah BST seimbang seperti Pohon AVL.
Oleh karena itu, bagian ini adalah O(V log V).
Setiap kali sebuah simpul diproses, kita merelaksasi tetangga-tetangganya. Secara total, E sisi-sisi diproses.
Jika dengan merelaksasi sisi(u, v), kita harus menurunkan D[v], kita akan memanggil operasi O(log V) DecreaseKey() dalam Timbunan Biner Minimum (susah untuk diimplementasikan karena C++ STL priority_queue/Python heapq/Java PriorityQueue saat ini tidak mendukung operasi ini secara efisien) atau secara sederhana hapus dat lama dan masukkan ulang data baru dalam BST seimbang seperti Pohon AVL (yang juga berjalan dalam O(log V), tetapi ini jauh lebih mudah untuk diimplementasikan, cukup gunakan C++ STL set/Java TreeSet — sayang sekali tidak didukung secara natif dalam Python).
Oleh karena itu, bagian ini adalah O(E log V).
Jadi secara keseluruhan, algoritma Dijkstra berjalan dalam waktu O(V log V + E log V) = O((V+E) log V), yang adalah jatuh lebih cepat daripada algoritma O(V×E) Bellman Ford.
To show the correctness of Dijkstra's algorithm on non-negative weighted graph, we need to use loop invariant: a condition which is True at the start of every iteration of the loop.
We want to show:
- Initialization: The loop invariant is true before the first iteration.
- Maintenance: If the loop invariant is true for iteration x, it remains true for iteration x+1.
- Termination: When the algorithm ends, the loop invariant helps the proof of correctness.
Discussion: Formally prove the correctness of Dijkstra's algorithm in class!
Ketika graf masukan memiliki setidaknya satu sisi berbobot negatif — tidak harus siklus berbobot negatif — algoritma Dijkstra bisa menghasilkan jawaban yang salah.
Cobalah pada salah satu dari Graf-Graf Contoh: CP3 4.18.
Pada akhir eksekusi dari algoritma Dijkstra, simpul 4 memiliki nilai D[4] yang salah karena algoritmanya 'salah' pada awalnya berpikir bahwa sub-jalur 0 → 1 → 3 adalah sub-jalur yang lebih baik dengan bobot 1+2 = 3, oleh karenanya membuat D[4] = 6 setelah memanggil relax(3,4,3). Tetapi, keberadaan bobot negatif -10 pada sisi 2 → 3 membuat sub-jalur yang lain 0 → 2 → 3 pada akhirnya adalah sub-jalur yang lebih baik dengan bobot 10-10 = 0 meskipun sub-jalur ini mulai dengan lebih jelek karena bobot jalurnya 10 setelah sisi pertama 0 → 2. Nilai D[3] = 0 yang lebih baik tidak pernah disebarkan lebih lanjut karena natur rakus (greedy) dari algoritma Dijkstra, oleh karenanya D[4] menjadi salah.
Algoritma Dijkstra juga bisa diimplementasikan dengan berbeda. Algoritma O((V+E) log V) Dijkstra termodifikasi bisa digunakan untuk graf-graf terarah berbobot yang mungkin memiliki sisi-sisi berbobot negatif tetapi tidak ada siklus berbobot negatif.
Graf masukan seperti itu terdapat pada beberapa kasus-kasus praktis, misalkan bepergian dengan mobil elektrik yang memiliki batere dan tujuan kita adalah untuk menemukan jalur dari simpul sumber s ke simpul lain yang meminimalkan penggunaan batere secara umum. Seperti biasa, pada akselerasi (atau menyetir di jalan yang rata/menaik), mobil elektrik menggunakan energi (positif) dari batere. Tetapi, pada pengereman (atau menyeter pada jalan menurun), mobil elektrik mengisi ulang energi (atau menggunakan energi negatif) ke batere. Tidak ada siklus berbobot negatif karena hilangnya energi kinetik.
Contohnya, cobalah pada salah satu dari Graf-Graf Contoh: CP3 4.18 yang telah membuat algoritma Dijkstra versi asli bermasalah (lihat slide sebelumnya).
Ide kuncinya adalah modifikasi yang dilakukan kepada C++ STL priority_queue/Python heapq/Java PriorityQueue untuk menginjikannya melakukan operasi 'DecreaseKey' secara efisien, yaitu dalam waktu O(log V).
Teknik ini disebut 'Pemutakhiran Malas (Lazy Update)' dimana kita meninggalkan 'informasi yang kadaluarsa/lebih lemah/bernilai lebih besar' didalam Antrean Berprioritas minimum daripada menghapusnya langsung. Karena item-item terurut dari nilai-nilai yang lebih kecil ke nilai-nilai yang lebih besar didalam sebuah PQ minimum, kita mengaransi diri sendiri bahwa kita akan menjumpai item yang paling kecil/paling mutakhir terlebih dahulu sebelum menjumpai item(-item) yang lebih lemah/kadaluarsa nantinya - yang bisa dengan mudah tidak diperdulikan.
On non-negative weighted graphs, the behavior of Modified Dijkstra's implementation is exactly the same as the Original Dijkstra's so we can use the same time complexity analysis of O((V+E) log V).
PS: We note that when we use the Modified Dijkstra's algorithm, there can be more items (up to E) in the Priority Queue than if we use the Original Dijkstra's algorithm (up to V). However, since O(log E) = O(log V^2) = O(2 log V) = O(log V), we still treat the Priority Queue operations as O(log V).
However, if the graph has at least one negative weight edge, the analysis is harder.
Ketika graf masukan memiliki setidaknya satu sisi berbobot negatif tetapi tidak ada siklus berbobot negatif — algoritma Dijkstra termodifikasi menghasilkan jawaban yang benar.
Cobalah pada satu dari Graf-Graf Contoh: CP3 4.18 yang menyebabkan masalah untuk .
Pada akhir dari eksekusi algoritma ModifiedDijkstra, simpul 4 memiliki nilai D[4] yang benar karena meskipun algoritma Dijkstra termodifikasi juga mulai dengan 'salah' dengan menganggap sub-jalur 0 → 1 → 3 adalah sub-jalur yang lebih baik dengan bobot 1+2 = 3, sehingga membuat D[4] = 6 setelah memanggil relax(3,4,3). Disini, algoritma Dijkstra termodifikasi terus menyebarkan D[3] = 0 setelah algoritma ini menemukan bahwa sub-jalur lain 0 → 2 → 3 sebenarnya adalah sub-jalur yang lebih baik dengan bobot 10-10 = 0. Maka D[4] akhirnya benar kembali. Tetapi, algoritma ini ada kemungkinan menjalankan (jauh lebih banyak) operasi daripada O((V+E) log V).
Sayangnya, menjalankan pada graf dengan siklus berbobot negatif seperti yang ditunjukkan pada salah satu Graf-Graf Contoh: CP3 4.17 diatas akan menyebabkan loop yang tidak berakhir (animasinya sangat panjang tetapi kami membatasi jumlah loop sebesar 100 sisi-sisi yang diproses supaya web browser anda tidak hang).
Try on the extreme corner case above that is very hard to derive without proper understanding of this algorithm and was part of Asia Pacific Informatics Olympiad (APIO) 2013 task set by A/P Halim himself long ago.
The Modified Dijkstra's algorithm will terminate with correct answer, but only after running exponential number of operations (each carefully constructed triangle raises the number of required operations by another power of two). Thus we cannot prematurely terminate Modified Dijkstra's in this worst case input situation.
However, such extreme corner case is rare and thus in practice, Modified Dijkstra's algorithm can be used on directed graphs that have some negative weighted edges as long as the graph has no negative weight cycle reachable from the source vertex s.
Algoritma O(V+E) Depth-First-Search (DFS) dapat menyelesaikan kasus spesial dari masalah SSSP, yaitu ketika graf masukannya adalah sebuah pohon (berbobot).
Dalam sebuah Pohon, hanya ada satu jalur unik dan tidak-bersiklus yang menghubungkan dua simpul yang berbeda. Sehingga jalur unik yang menghubungkan simpul sumber s ke simpul lain u ∈ V sebernarnya juga adalah jalur terpendek. Contohnya, coba pada Pohon diatas.
Catat bahwa untuk sebuah Pohon (berbobot), kita juga dapat menggunakan BFS. Contohnya, coba pada Pohon yang sama diatas.
Diskusi: Kenapa DFS (dan juga BFS) berjalan dalam O(V) dan bukan dalam O(V+E) jika masukannya adalah sebuah Pohon (berbobot)?
DFS sangat mungkin menghasilkan jawaban yang salah ketika dijalankan pada graf lain yang bukan Pohon. Kami akan menampilkan pesan peringatan untuk kasus-kasus tersebut meskipun kami tidak melarang anda untuk mencoba fitur ini untuk alasan pedagogis.
Contohnya, coba pada graf umum diatas dan anda akan melihat bahwa simpul {4} akan memiliki nilai D[4] yang salah (dan juga nilai p[4] yang salah) karena DFS(0) pergi kedalam 0 → 1 → 3 → 4 dahulu, kembali ke simpul 0 dan lalu mengunjungi 0 → 2 tetapi sisi 2 → 4 tidak bisa diproses karena simpul 4 sudah dikunjungi oleh DFS sebelumnya.
Algoritma O(V+E) Pemrograman Dinamis (Dynamic Programming) dapat menyelesaikan kasus spesial dari masalah SSSP, yaitu ketika graf masukannya adalah sebuah Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acylic Graph, DAG), sehingga kita dapat menemukan setidaknya satu urutan topologis dari DAG tersebut dan memproses relaksasi sisi berdasarkan urutan topologis tersebut.
Pada contoh Modified Dijkstra's killer diatas, bekerja dengan cepat karena graf tersebut sebenarnya adalah sebuah DAG, meskipun memiliki sisi berbobot negatif. Karena grafnya adalah DAG, maka tidak akan ada siklus berbobot negatif yang perlu diperhatikan.
Tetapi, DP tidak akan bekerja untuk graf yang bukan DAG karena graf yang bukan DAG memiliki setidaknya satu siklus dan oleh karena itu tidak ada urutan topologis yang bisa ditemukan didalam siklus tersebut.
Algoritma DP untuk menyelesaikan SSSP pada DAG juga disebut sebagai algoritma Bellman-Ford satu-laluan karena algoritma tersebut mengganti V-1 loop paling luar (kita tidak tahu urutan yang benar jadi kita ulangi saja sampai yang paling maksimum) dengan hanya satu pass urutan topologis (kita tahu bahwa ini adalah (salah satu) dari urutan(-urutan) yang benar dari DAG ini).
Bandingkan (relaksasi E sisi-sisi sekali saja — menurut urutan topologis dari sisi-sisinya) dibandingkan dengan (relaksasi E sisi-sisi dalam urutan acak, sebanyak V-1 kali) pada DAG contoh yang sama diatas.
Kami memiliki banyak hal-hal lain diatas penjelasan dasar dari algoritma-algoritma SSSP untuk masalah-masalah SSSP ini.
Untuk beberapa pertanyaan-pertanyaan menarik tentang masalah SSSP dan berbagai algoritma-algoritmanya, silahkan latihan pada modul latihan SSSP (tidak perlu login).
Tetapi untuk pengguna yang telah teregistrasi, anda sebaiknya login dan lalu pergi ke Halaman Latihan Utama untuk secara resmi menyelesaikan modul ini (setelah menyelesaikan modul-modul prasyarat lainnya) dan prestasi tersebut akan dicatat dalam akun pengguna anda.
Kami juga mempunyai beberapa masalah-masalah pemrograman yang membutuhkan penggunaan algoritma SSSP yang tepat: Kattis - hidingplaces dan Kattis - shortestpath1.
Cobalah selesaikan mereka dan lalu cobalah lebih banyak varian menarik dari masalah SSSP menarik ini.
Iklan: Beli buku teks Competitive Programming untuk membaca lebih banyak tentang masalah yang menarik ini.