Graf

1. Introduction

Sebuah graf terdiri dari simpul-simpul (vertices) dan sisi-sisi (edges) yang menghubungkan simpul-simpul tersebut.


Sebuah graf dapat tidak terarah (yang berarti tidak ada perbedaan antara kedua arah dari sisi dua arah yang menghubungkan dua buah simpul) atau sebuah graf dapat terarah (yang berarti sisi-sisi yang ada memiliki arah tertentu dari sebuah simpul ke simpul lainnya, namun belum tentu ada untuk arah sebaliknya).


Sebuah graf dapat berbobot (dengan menempatkan sebuah bobot pada tiap sisi yang berupa sebuah angka yang diasosiasikan dengan sisi tersebut) atau tidak berbobot (semua sisi memiliki bobot 1 atau semua sisi memiliki bobot konstan yang sama).

1-1. Graf Simple

Kebanyakan dari masalah-masalah graf yang kita bahas di VisuAlgo berhubungan dengan graf-graf sederhana (simple graphs).


Didalam sebuah graf sederhana, tidak ada sisi yang melingkar sendiri (sisi yang menghubungkan sebuah simpul dengan simpul itu sendiri) dan tidak ada sisi-sisi ganda/paralel (sisi-sisi diantara sepasang simpul yang sama). Dengan kata lain: Cuma ada maksimum satu sisi diantara sepasang simpul yang unik.


Jumlah sisi-sisi E di dalam sebuah graf sederhana cuma bisa berkisar dari 0 sampai O(V2).


Algoritma-algoritma graf pada graf-graf sederhana lebih mudah daripada pada graf-graf tidak sederhana.

1-2. Terminologi, Bagian 1

An undirected edge e: (u, v) is said to be incident with its two end-point vertices: u and v. Two vertices are called adjacent (or neighbor) if they are incident with a common edge. For example, edge (0, 2) is incident to vertices 0+2 and vertices 0+2 are adjacent.


Two edges are called adjacent if they are incident with a common vertex. For example, edge (0, 2) and (2, 4) are adjacent.


The degree of a vertex v in an undirected graph is the number of edges incident with vertex v. A vertex of degree 0 is called an isolated vertex. For example, vertex 0/2/6 has degree 2/3/1, respectively.


A subgraph G' of a graph G is a (smaller) graph that contains subset of vertices and edges of G. For example, a triangle {0, 1, 2} is a subgraph of the currently displayed graph.

1-3. Terminologi, Bagian 2

Sebuah jalur (path) (dengan panjang n) dalam sebuah graf (tidak terarah) G adalah urutan simpul-simpul {v0, v1, ..., vn-1, vn} sehingga ada sisi diantara vi dan vi+1i ∈ [0..n-1] sepanjang jalur tersebut.


Jika tidak ada simpul yang diulang disepanjang jalan, kita menyebut jalur tersebut sebagai jalur sederhana (simple path).


Contohnya, {0, 1, 2, 4, 5} adalah satu jalur sederhana di graf yang sekarang ditampilkan.

1-4. Terminologi, Bagian 3

An undirected graph G is called connected if there is a path between every pair of distinct vertices of G. For example, the currently displayed graph is not a connected graph.


An undirected graph C is called a connected component of the undirected graph G if:
1). C is a subgraph of G;
2). C is connected;
3). no connected subgraph of G has C as a subgraph and contains vertices or edges that are not in C (i.e., C is the maximal subgraph that satisfies the other two criteria).


For example, the currently displayed graph have {0, 1, 2, 3, 4} and {5, 6} as its two connected components.


A cut vertex/bridge is a vertex/edge that increases the graph's number of connected components if deleted. For example, in the currently displayed graph, there is no cut vertex, but edge (5, 6) is a bridge.

1-5. Terminologi, Bagian 4

In a directed graph, some of the terminologies mentioned earlier have small adjustments.


If we have a directed edge e: (uv), we say that v is adjacent to u but not necessarily in the other direction. For example, 1 is adjacent to 0 but 0 is not adjacent to 1 in the currently displayed directed graph.


In a directed graph, we have to further differentiate the degree of a vertex v into in-degree and out-degree. The in-degree/out-degree is the number of edges coming-into/going-out-from v, respectively. For example, vertex 1 has in-degree/out-degree of 2/1, respectively.

1-6. Terminologies, Part 5

In a directed graph, we extend the concept of Connected Component (CC) into Strongly Connected Component (SCC). A directed graph G is called strongly connected if there is a path in each direction between every pair of distinct vertices of G.


A directed graph SCC is called a strongly connected component of the directed graph G if:
1). SCC is a subgraph of G;
2). SCC is strongly connected;
3). no connected subgraph of G has SCC as a subgraph and contains vertices or edges that are not in SCCC (i.e., SCC is the maximal subgraph that satisfies the other two criteria).


In the currently displayed directed graph, we have {0}, {1, 2, 3}, and {4, 5, 6, 7} as its three SCCs.

1-7. Terminologies, Part 6

A cycle is a path that starts and ends with the same vertex.


An acyclic graph is a graph that contains no cycle.


In an undirected graph, each of its undirected edge causes a trivial cycle (of length 2) although we usually will not classify it as a cycle.


A directed graph that is also acyclic has a special name: Directed Acyclic Graph (DAG), as shown above.


There are interesting algorithms that we can perform on acyclic graphs that will be explored in this visualization page and in other graph visualization pages in VisuAlgo.

1-8. Graf-Graf Spesial

Sebuah graf dengan properti-properti spesifik yang berhubungan dengan simpul-simpulnya dan/atau struktur sisi-sisinya bisa dipanggil dengan nama spesifiknya, seperti Pohon (seperti yang sekarang ditampilkan), Graf Komplet, Graf Bipartit, Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graph, DAG), dan juga yang jarang digunakan: Graf Planar, Graf Garis (Line Graph), Graf Bintang (Star Graph), Graf Roda (Wheel Graph), dsb.


Dalam visualisasi ini, kita akan menyorot empat graf-graf spesial pertama nantinya.

2. Graf ada Dimana-mana

Graf sering sekali muncul dalam berbagai bentuk di kehidupan nyata. Bagian terpenting dari menyeesaikan masalah graf adalah bagian pemodelan graf, yaitu mereduksi masalah yang ada ke terminologi-termonologi graf: simpul-simpul, sisi-sisi, bobot-bobot, dsb.

2-1. Contoh-Contoh, Mudah Dilihat, 1

Jaringan Sosial (Social Network): Simpul-simpul bisa merepresentasikan orang, Sisi-sisi merepresentasikan hubungan antar orang (biasanya tidak terarah dan tidak berbobot).


Contohnya, lihat graf tidak terarah yang sedang ditampilkan. Graf ini menunjukkan 7 simpul-simpul (orang-orang) dan 8 sisi-sisi (hubungan) diantara mereka. Mungkin kita bisa bertanya pertanyaan-pertanyaan seperti berikut:

  1. Siapa saja teman(-teman) dari orang bernomor 0?
  2. Siapa yang mempunyai paling banyak teman(-teman)?
  3. Apakah ada orang yang terisolasi (orang-orang yang tidak mempunyai teman)?
  4. Apakah ada teman yang sama diantara dua orang yang tidak saling mengenal: Orang nomor 3 dan orang nomor 5?
  5. Dsb...

2-2. Contoh-Contoh, Mudah Dilihat, 2

Jaringan Transportasi: Simpul-simpul bisa merepresentasikan stasiun-stasiun, sisi-sisi merepresentasikan koneksi antar stasiun (biasanya berbobot).


Contohnya, lihat graf berarah berbobot yang sedang ditampilkan. Graf ini menunjukkan 5 simpul-simpul (stasiun-stasiun/tempat-tempat) dan 6 sisi-sisi (koneksi-koneksi/jalan-jalan antar stasiun-stasiun, dengan waktu tempuh berbobot positif seperti yang tertera). Misalkan kita mengemudikan sebuah mobil. Kita mungkin bertanya apa jalur yang perlu diambil untuk pergi dari stasiun 0 ke stasiun 4 supaya kita sampai di stasiun 4 dengan menggunakan waktu yang paling sedikit?


Diskusi: Bahas beberapa skenario-skenario di kehidupan nyata lainnya yang bisa dimodelkan sebagai graf.

2-3. Contoh-Contoh yang Lebih Sulit Dilihat

[This is a hidden slide]

3. Mode

Untuk beralih di antara mode-mode penggambaran graf, anda dapat memilih header yang ada. Kami memiliki:
  1. U/U = Tidak Terarah/Tidak Berbobot (default),
  2. U/W = Tidak Terarah/Berbobot,
  3. D/U = Terarah/Tidak Berbobot, dan
  4. D/W = Terarah/Berbobot.

4. Visualisasi

You can click any one of the example graphs and see its example graph drawing, which is a two-dimensional depiction of that graph. Note that the same graph can have (infinitely) many possible graph drawings.


You can further edit (add/delete/reposition the vertices or add/change the weight of/delete the edges) the currently displayed graph by clicking "Edit Graph" (read the associated Help message in that Edit Graph window).

4-1. Batasan-Batasan Visualisasi

We limit the graphs discussed in VisuAlgo to be simple graphs. Refer to its discussion in this slide.


While now we do not really limit the number of vertices that you can draw on screen, we recommend that you draw not more than 10 vertices, ranging from vertex 0 to vertex 9 (as the Adjacency Matrix of this graph will already contain 10x10 = 100 cells). This, together with the simple graph constraint earlier, limit the number of undirected/directed edges to be 45/90, respectively.

5. Graf-Graf Contoh

All example graphs can be found here. We provide seven "most relevant" example graphs per category (U/U, U/W, D/U, D/W).


Remember that after loading one of these example graphs, you can further edit the currently displayed graph to suit your needs.

6. Graf Spesial

Tree, Complete, Bipartite, Directed Acyclic Graph (DAG) are properties of special graphs. As you edit the graph, these properties are checked and updated instantly.


There are other less frequently used special graphs: Planar Graph, Line Graph, Star Graph, Wheel Graph, etc, but they are not currently auto-detected in this visualization.

6-1. Graf Spesial - Pohon, Bagian 1

Tree is a connected graph with V vertices and E = V-1 edges, acyclic, and has one unique path between any pair of vertices. Usually a Tree is defined on undirected graph.


An undirected Tree (see above) actually contains trivial cycles (caused by its bidirectional edges) but it does not contain non-trivial cycle (of length 3 or larger). A directed Tree is clearly acyclic.


As a Tree only have V-1 edges, it is usually considered a sparse graph.


We currently show our U/U: Tree example. You can go to 'Exploration Mode' and edit/draw your own trees.

6-2. Graf Spesial - Pohon, Bagian 2

Not all Trees have the same graph drawing layout of having a special root vertex at the top and leaf vertices (vertices with degree 1) at the bottom. The (star) graph shown above is also a Tree as it satisfies the properties of a Tree.


Tree with one of its vertex designated as root vertex is called a rooted Tree.


We can always transform any Tree into a rooted Tree by designating a specific vertex (usually vertex 0) as the root, and run a DFS or BFS algorithm from the root. This process of "rooting the tree" (of a Tree that is not visually drawn as a tree yet) has a visual explanation. Imagine that each vertex is a small ball (with non-zero weight) and each edge is a rope of the same length connecting two adjacent balls. Now, if we pick the root ball/vertex and pull it up, then gravity will pull the rest of the balls downwards and that is the DFS/BFS spanning tree of the tree.

6-3. Graf Spesial - Pohon, Bagian 3

In a rooted tree, we have the concept of hierarchies (parent, children, ancestors, descendants), subtrees, levels, and height. We will illustrate these concepts via examples as their meanings are as with real-life counterparts:

  1. The parent of 0/1/7/9/4 are none/0/1/8/3, respectively,
  2. The children of 0/1/7 are {1,8}/{2,3,6,7}/none, respectively,
  3. The ancestors of 4/6/8 are {3,1,0}/{1,0}/{0}, respectively,
  4. The lowest common ancestor between 4 and 6 is 1.
  5. The descendants of 1/8 are {2,3,4,5,6,7}/{9}, respectively,
  6. The subtree rooted at 1 includes 1, its descendants, and all associated edges,
  7. Level 0/1/2/3 members are {0}/{1,8}/{2,3,6,7,9}/{4,5}, respectively,
  8. The height of this rooted tree is its maximum level = 3.

6-4. Graf Spesial - Pohon, Bagian 4

Untuk pohon yang berakar, kita juga dapat mendefinisikan beberapa properti-properti tambahan:


Sebuah pohon biner adalah pohon yang berakar dimana sebuah simpul memiliki paling banyak dua anak yang pas dinamakan sebagai anak kiri dan kanan. Kita sering melihat bentuk ini selama diskusi Pohon Pencarian Biner dan Tumpukan Biner.


Sebuah pohon biner penuh adalah pohon biner dimana setiap simpul bukan-daun (juga disebut sebagain simpul internal) memiliki tepat dua anak. Pohon biner yang ditunjukkan diatas memenuhi kriteria ini.


Pohon biner komplet adalah pohon biner dimana setiap tingkatan terisi penuh, kecuali mungkin tingkatan terakhir mungkin terisi sisi kirinya sebisa mungkin. Kita sering melihat bentuk ini terutama dalam pembahasan tentang Tumpukan Biner.

6-5. Graf Spesial - Komplit

Complete graph is a graph with V vertices and E = V*(V-1)/2 edges (or E = O(V2)), i.e., there is an edge between any pair of vertices. We denote a Complete graph with V vertices as KV.


Complete graph is the most dense simple graph.


We currently show our U/W: K5 (Complete) example. You can go to 'Exploration Mode' and edit/draw your own complete graphs (a bit tedious for larger V though).

6-6. Graf Spesial - Bipartit

Bipartite graph is an undirected graph with V vertices that can be partitioned into two disjoint set of vertices of size m and n where V = m+n. There is no edge between members of the same set. Bipartite graph is also free from odd-length cycle.


We currently show our U/U: Bipartite example. You can go to 'Exploration Mode' and draw/edit your own bipartite graphs.


A Bipartite Graph can also be complete, i.e., all m vertices from one disjoint set are connected to all n vertices from the other disjoint set. When m = n = V/2, such Complete Bipartite Graphs also have E = O(V2).


A Tree is also a Bipartite Graph, i.e., all vertices on the even levels form one set, and all vertices on the odd levels form the other set.

6-7. Graf Spesial - DAG

Directed Acyclic Graph (DAG) is a directed graph that has no cycle, which is very relevant for Dynamic Programming (DP) techniques.


Each DAG has at least one Topological Sort/Order which can be found with a simple tweak to DFS/BFS Graph Traversal algorithm. DAG will be revisited again in DP technique for SSSP on DAG.


We currently show our D/W: Four 0→4 Paths example. You can go to 'Exploration Mode' and draw your own DAGs.

7. Tiga struktur data graf

Ada banyak cara untuk menyimpan informasi graf kedalam sebuah struktur data graf. Dalam visualisasi ini, kami menunjukkan tiga struktur data graf: Matriks Adjacency (Adjacency Matrix), Daftar Adjacency (Adjacency List), dan Daftar Sisi (Edge List) — masing-masing dengan kekuatan-kekuatan dan kelemahan-kelemahannya tersendiri.

7-1. Adjacency Matrix (AM)

Adjacency Matrix (AM) is a square matrix where the entry AM[i][j] shows the edge's weight from vertex i to vertex j. For unweighted graphs, we can set a unit weight = 1 for all edge weights.


We usually set AM[i][j] = 0 to indicate that there is no edge (i, j). However, if the graph contains 0-weighted edge, we have to use another symbol to indicate "no edge" (e.g., -1, None, null, etc).


We simply use a C++/Python/Java native 2D array/list of size VxV to implement this data structure.

7-2. AM - Lanjutan

Analisa Kompleksitas Ruang: Sebuah AM sayangnya membutuhkan kompleksitas ruang yang besar yaitu O(V2), meskipun bila graf kita ternyata jarang (sparse) (yaitu tidak mempunyai banyak sisi-sisi).


Diskusi: Mengetahui besarnya kompleksitas ruang dari AM, kapankah saat yang tepat untuk menggunakannya? Atau apakah AM selalu adalah struktur data graf yang inferior dan selalu tidak boleh digunakan di setiap saat?

7-3. Jawabannya

[This is a hidden slide]

7-4. Adjacency List (AL)

Daftar Adjacency (Adjacency List, AL) adalah sebuah larik berisi V senarai (lists), satu untuk setiap simpul (biasanya dalam nomor simpul menaik) dimana untuk setiap simpul i, AL[i] menyimpan daftar dari tetangga-tetangga i. Untuk graf-graf berbobot, kita bisa menyimpan pasangan-pasangan (nomor simpul tetangga, bobot dari sisi ini).


Kami menggunakan Vector dari Vector pair (untuk graf-graf berbobot) untuk mengimplementasikan struktur data ini.
Dalam C++: vector<vector<pair<int, int>>> AL;

Dalam Python: AL = [[] for _ in range(N)]

Dalam Java: Vector<Vector<IntegerPair>> AL;

// class IntegerPair di Java seperti pair<int, int> di C++

7-5. Kelas IntegerPair (dalam bahasa Java)

class IntegerPair implements Comparable<IntegerPair> {
Integer _f, _s;
public IntegerPair(Integer f, Integer s) { _f = f; _s = s; }
public int compareTo(IntegerPair o) {
if (!this.first().equals(o.first())) // this.first() != o.first()
return this.first() - o.first(); // salah karena kita mau
else // membandingkan nilai mereka,
return this.second() - o.second(); // bukan referensi mereka
}
Integer first() { return _f; }
Integer second() { return _s; }
}
// IntegerTriple mirip dengan IntegerPair, tapi mempunyai 3 parameter

7-6. Kenapa Vector dari Vector Pair?

We use pairs as we need to store pairs of information for each edge: (neighbor vertex number, edge weight) where the weight field can be set to 1, 0, unused, or simply dropped for unweighted graph.


We use Vector of Pairs due to Vector's auto-resize feature. If we have k neighbors of a vertex, we just add k times to an initially empty Vector of Pairs of this vertex (this Vector can be replaced with Linked List).


We use Vector of Vectors of Pairs for Vector's indexing feature, i.e., if we want to enumerate neighbors of vertex u, we use AL[u] (C++/Python) or AL.get(u) (Java) to access the correct Vector of Pairs.

7-7. AL - Lanjutan

Analisa Kompleksitas Ruang: AL mempunyai kompleksitas ruang sebesar O(V+E), yang adalah jauh lebih efisien daripada AM dan biasanya adalah struktur data graf default didalam hampir semua algoritma-algoritma graf.


Diskusi: AL adalah struktur data graf yang paling sering dipakai, tetapi diskusi beberapa skenario-skenario dimana AL sesungguhnya bukan struktur data graf yang terbaik?

7-8. Jawabannya

[This is a hidden slide]

7-9. Daftar Sisi (Edge List, EL)

Daftar Sisi (Edge List, EL) adalah koleksi dari sisi-sisi dengan simpul-simpul yang berhubungan dan bobot-bobotnya. Biasanya, sisi-sisi ini diurutkan berdasarkan bobot menaik, contohnya seperti di bagian algoritma Kruskal untuk masalah Pohon Perentang Terkecil (Minimum Spanning Tree, MST). Tetapi dalam visualisasi ini, kita mengurutkan sisi-sisi berdasarkan nomor simpul pertama secara menaik dan jika ada yang sama, berdasarkan nomor simpul kedua secara menarik. Catat bahwa sisi-sisi dua arah dalam graf tidak-berarah/berarah didaftarkan sekali/dua-kali.


Kita menggunakan Vector dari triples untuk mengimplementasikan struktur data ini.
Dalam C++: vector<tuple<int, int, int>> EL;

Dalam Python: EL = [] 

Dalam Java: Vector<IntegerTriple> EL; 

// class IntegerTriple di Java seperti tuple<int, int, int> di C++

7-10. EL - Lanjutan

Analisa Kompleksitas Ruang: EL mempunyai kompleksitas ruang sebesar O(E), yang adalah lebih efisien dari AM dan sama efisiennya dengan AL.


Diskusi: Sebutkan potensi penggunaan EL selain dalam algoritma Kruskal untuk masalah Pohon Perentang Terkecil (Minimum Spanning Tree, MST)!

7-11. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8. Aplikasi-Aplikasi Sederhana

Setelah menyimpan informasi graf kita didalam sebuah struktur data graf, kita dapat menjawab beberapa pertanyaan-pertanyaan sederhana.

  1. Menghitung V,
  2. Menghitung E,
  3. Mendaftarkan tetangga-tetangga dari sebuah simpul u,
  4. Mengecek keberadaan sisi (u, v), dsb.

8-1. Menghitung V

Dalam AM dan AL, V hanyalah jumlah baris-baris di dalam struktur data yang bisa didapatkan dalam O(V) atau bahkan dalam O(1) — tergantung implementasi aktual.


Diskusi: Bagaimana cara menghitung V jika graf disimpan dalam sebuah EL?


Catatan: Kadang-kadang angka ini disimpan/dimutakhirkan di variable terpisah sehingga kita tidak harus menghitung ulang setiap kali — terutama jika graf kita tidak pernah/jarang berubah sejak dibuat, sehingga kita mendapatkan performa O(1), contohnya, kita dapat menyimpan data bahwa ada 7 simpul-simpul (dalam struktur data AM/AL/EL kita) untuk graf contoh diatas.

8-2. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8-3. Menghitung E

In an EL, E is just the number of its rows that can be counted in O(E) or even in O(1) — depending on the actual implementation. Note that depending on the need, we may store a bidirectional edge just once in the EL but on other case, we store both directed edges inside the EL.


In an AL, E can be found by summing the length of all V lists and divide the final answer by 2 (for undirected graph). This requires O(V+E) computation time as each vertex and each edge is only processed once. This can also be implemented in O(V) in some implementations.


Discussion: How to count E if the graph is stored in an AM?


PS: Sometimes this number is stored/maintained in a separate variable for efficiency, e.g., we can store that there are 8 undirected edges (in our AM/AL/EL data structure) for the example graph shown above.

8-4. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8-5. Mengenumerasi Tetangga dari Simpul u

Didalam sebuah AM, kita butuh untuk menelusuri seluruh kolom-kolom dari AM[u][j] ∀j ∈ [0..V-1] dan melaporkan pasangan dari (j, AM[u][j]) jika AM[u][j] tidak nol. Ini adalah O(V) — lambat.


Didalam sebuah AL, kita hanya perlu menelusuri AL[u]. Jika hanya ada k tetangga-tetangga dari simpul u, maka kita hanya perlu O(k) untuk mengenumerasi mereka — ini disebut kompleksitas waktu yang sensitif-terhadap-keluaran dan sudah merupakan yang terbaik.


Kita biasanya mendaftarkan tetangga-tetangga dalam nomor simpul menaik. Contohnya, tetangga-tetangga dari simpul 1 di graf contoh diatas adalah {0, 2, 3}, dengan urutan nomor simpul menaik.


Diskusi: Bagaimana caranya melakukan ini bila grafnya disimpan dalam sebuah EL?

8-6. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8-7. Mengecek Keberadaan Sisi (u, v)

Dalam sebuah AM, kita dapat mengecek apakah AM[u][v] adalah nol. Ini adalah O(1) — yang paling cepat.


Dalam sebuah AL, kita harus mengecek apakah AL[u] berisi simpul v atau tidak. Ini adalah O(k) — lebih lambat.


Contohnya, simpul (2, 4) ada di graf contoh diatas tetapi simpul (2, 6) tidak ada.

Catat bahwa jika kita telah menemukan simpul (u, v), kita juga dapat mengakses dan/atau memutakhirkan bobotnya.


Diskusi: Bagaimana untuk melakukan ini bila grafnya disimpan dalam sebuah EL?

8-8. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8-9. Diskusi

Quiz: So, what is the best graph data structure?

Adjacency Matrix
Edge List
Adjacency List
It Depends


Diskusi: Kenapa?

8-10. Jawabannya

[This is a hidden slide]

9. Tambahan-Tambahan

You have reached the end of the basic stuffs of this relatively simple Graph Data Structures and we encourage you to explore further in the Exploration Mode by editing the currently drawn graph, by drawing your own custom graphs, or by inputting Edge List/Adjacency Matrix/Adjacency List input and ask VisuAlgo to propose a "good enough" graph drawing of that input graph.


However, we still have a few more interesting Graph Data Structures challenges for you that are outlined in this section.


Note that graph data structures are usually just the necessary but not sufficient part to solve the harder graph problems like MST, SSSP, MF, Matching, MVC, ST, or TSP.

9-1. Kuis Online

Untuk beberapa pertanyaan-pertanyaan menarik tentang struktur data ini, silahkan latihan di modul latihan Struktur Data Graf.

9-2. Contoh-Contoh Implementasi

Lihatlah implementasi-implementasi C++/Python/JavaOCaml berikut ini dari ketiga struktur-struktur data yang disebut dalam kuliah maya ini: Adjacency Matrix, Adjacency List, dan Edge List:  graph_ds.cpp | py | java | ml.

9-3. Latihan-Latihan Online Judge

Cobalah selesaikan dua masalah-masalah pemrograman dasar yang membutuhkan penggunaan struktur data graf tanpa algoritma-algoritma graf apapun:

  1. UVa 10895 - Matrix Transpose dan,
  2. Kattis - flyingsafely.

9-4. Diskusi

[This is a hidden slide]

9-5. Implicit Graph

Last but not least, there are some graphs that are so nicely structured that we do not have to actually store them in any graph data structure that we have discussed earlier.


For example, a complete unweighted graph can be simply stored with just one integer V, i.e., we just need to remember it's size and since a complete graph has an edge between any pair of vertices, we can re-construct all those V * (V-1) / 2 edges easily.


Discussion: Can you elaborate a few more implicit graphs?

9-6. More Implicit Graphs

[This is a hidden slide]