Graf

1. Introduction

Sebuah graf terdiri dari simpul-simpul (vertices) dan sisi-sisi (edges) yang menghubungkan simpul-simpul tersebut.


Sebuah graf dapat tidak terarah (yang berarti tidak ada perbedaan antara kedua arah dari sisi dua arah yang menghubungkan dua buah simpul) atau sebuah graf dapat terarah (yang berarti sisi-sisi yang ada memiliki arah tertentu dari sebuah simpul ke simpul lainnya, namun belum tentu ada untuk arah sebaliknya).


Sebuah graf dapat berbobot (dengan menempatkan sebuah bobot pada tiap sisi yang berupa sebuah angka yang diasosiasikan dengan sisi tersebut) atau tidak berbobot (semua sisi memiliki bobot 1 atau semua sisi memiliki bobot konstan yang sama).

1-1. Graf Simple

Kebanyakan dari masalah-masalah graf yang kita bahas di VisuAlgo berhubungan dengan graf-graf sederhana (simple graphs).


Didalam sebuah graf sederhana, tidak ada sisi yang melingkar sendiri (sisi yang menghubungkan sebuah simpul dengan simpul itu sendiri) dan tidak ada sisi-sisi ganda/paralel (sisi-sisi diantara sepasang simpul yang sama). Dengan kata lain: Cuma ada maksimum satu sisi diantara sepasang simpul yang unik.


Jumlah sisi-sisi E di dalam sebuah graf sederhana cuma bisa berkisar dari 0 sampai O(V2).


Algoritma-algoritma graf pada graf-graf sederhana lebih mudah daripada pada graf-graf tidak sederhana.

1-2. Terminologi, Bagian 1

Sebuah sisi tidak terarah e: (u, v) dikatakan adjacent dengan kedua ujung simpul: u dan v. Dua simpul dikatakan tetangga jika mereka adjacent dengan sisi yang sama. Contohnya, sisi (0, 2) bersinggungan dengan simpul 0+2 dan simpul-simpul 0+2 adalah tetangga.


Dua sisi-sisi dikatakan adjacent bila mereka bersinggungan dengan simpul yang sama. Contohnya, sisi (0, 2) dan (2, 4) adalah adjacent.


Degree dari simpul v dalam sebuah graf tidak terarah adalah jumlah sisi-sisi yang bersinggungan dengan v. Sebuah simpul dengan degree 0 disebut sebagai simpul yang terisolasi. Contohnya, simpul 0/2/6 mempunyai degree 2/3/1.


Sebuah sub-graf G' dari sebuah graf G adalah graf (yang lebih kecil) yang berisi subset dari simpul-simpul dan sisi-sisi dari G. Contohnya, segitiga {0, 1, 2} adalah sub-graf dari graf yang sekarang ditampilkan.

1-3. Terminologi, Bagian 2

Sebuah jalur (path) (dengan panjang n) dalam sebuah graf (tidak terarah) G adalah urutan simpul-simpul {v0, v1, ..., vn-1, vn} sehingga ada sisi diantara vi dan vi+1i ∈ [0..n-1] sepanjang jalur tersebut.


Jika tidak ada simpul yang diulang disepanjang jalan, kita menyebut jalur tersebut sebagai jalur sederhana (simple path).


Contohnya, {0, 1, 2, 4, 5} adalah satu jalur sederhana di graf yang sekarang ditampilkan.

1-4. Terminologi, Bagian 3

Sebuah graf tidak terarah G dikatakan terhubung jika ada jalur diantara setiap pasangan simpul yang berbeda di G. Contohnya, graf yang sedang ditampilkan sekarang adalah graf yang tidak terhubung.


Sebuah graf tidak terarah C dikatakan sebagai komponen terhubung dari graf tidak terarah G jika 1). C adalah sub-graf dari G; 2). C terhubung; 3). tidak ada sub-graf terhubung dari G yang memiliki C sebagai sub-graf dan memiliki simpul-simpul atau sisi-sisi yang tidak berada dalam C (dengan kata lain C adalah sub-graf maksimal yang memenuhi dua kriteria lainnya).


Contohnya, graf yang sekarang ditampilkan memiliki {0, 1, 2, 3, 4} dan {5, 6} sebagai dua komponen terhubungnya.

1-5. Terminologi, Bagian 4

Dalam sebuah graf terarah, beberapa dari terminologi-terminologi yang disebut terlebih dahulu memiliki beberapa modifikasi kecil.


Jika kita memiliki sisi terarah e: (uv), kita bilang bahwa v adjacent dengan u tetapi belum tentu sebaliknya. Contohnya, 1 adjacent dengan 0 tetapi 0 tidak adjacent dengan 1 di dalam graf yang sekarang ditampilkan.


Dalam graf terarah, kita harus membedakan degree dari sebuah simpul v lebih rinci lagi, yaitu degree-dalam dan degree-luar. Degree-dalam/luar adalah jumlah sisi-sisi yang masuk/keluar dari simpul v. Contohnya, simpul 1 mempunyai degree dalam/luar sebesar 2/1.


Dalam graf terarah, kita mendefinisikan konsep Komponen Terhubung Kuat (Strongly Connected Component, SCC). Dalam graf yang sekarang ditampilkan, kita memiliki {0}, {1, 2, 3}, dan {4, 5, 6, 7} sebagai tiga SCC nya.

1-6. Terminologi, Bagian 5

Sebuah siklus (cycle) adalah sebuah jalur (path) yang bermula dan berakhir di simpul yang sama.


Sebuah graf tidak-bersiklus (acyclic graph) adalah sebuah graf yang tidak mempunyai siklus.


Dalam sebuah graf tidak terarah, setiap dari sisi tidak terarahnya menyebabkan sebuah siklus sepele (trivial cycle) meskipun kita biasanya tidak akan mengklasifikasikannya sebagai sebuah siklus.


Sebuah graf terarah yang juga tidak-bersiklus mempunyai nama spesial: Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graph, DAG), seperti yang ditunjukkan diatas.


Ada algoritma-algoritma menarik yang bisa kita lakukan di graf-graf yang tidak-bersiklus yang akan dieksplorasi di halaman visualisasi ini dan di halaman-halaman visualisasi graf lainnya di VisuAlgo.

1-7. Graf-Graf Spesial

Sebuah graf dengan properti-properti spesifik yang berhubungan dengan simpul-simpulnya dan/atau struktur sisi-sisinya bisa dipanggil dengan nama spesifiknya, seperti Pohon (seperti yang sekarang ditampilkan), Graf Komplet, Graf Bipartit, Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graph, DAG), dan juga yang jarang digunakan: Graf Planar, Graf Garis (Line Graph), Graf Bintang (Star Graph), Graf Roda (Wheel Graph), dsb.


Dalam visualisasi ini, kita akan menyorot empat graf-graf spesial pertama nantinya.

2. Graf ada Dimana-mana

Graf sering sekali muncul dalam berbagai bentuk di kehidupan nyata. Bagian terpenting dari menyeesaikan masalah graf adalah bagian pemodelan graf, yaitu mereduksi masalah yang ada ke terminologi-termonologi graf: simpul-simpul, sisi-sisi, bobot-bobot, dsb.

2-1. Contoh-Contoh, Mudah Dilihat, 1

Jaringan Sosial (Social Network): Simpul-simpul bisa merepresentasikan orang, Sisi-sisi merepresentasikan hubungan antar orang (biasanya tidak terarah dan tidak berbobot).


Contohnya, lihat graf tidak terarah yang sedang ditampilkan. Graf ini menunjukkan 7 simpul-simpul (orang-orang) dan 8 sisi-sisi (hubungan) diantara mereka. Mungkin kita bisa bertanya pertanyaan-pertanyaan seperti berikut:

  1. Siapa saja teman(-teman) dari orang bernomor 0?
  2. Siapa yang mempunyai paling banyak teman(-teman)?
  3. Apakah ada orang yang terisolasi (orang-orang yang tidak mempunyai teman)?
  4. Apakah ada teman yang sama diantara dua orang yang tidak saling mengenal: Orang nomor 3 dan orang nomor 5?
  5. Dsb...

2-2. Contoh-Contoh, Mudah Dilihat, 2

Jaringan Transportasi: Simpul-simpul bisa merepresentasikan stasiun-stasiun, sisi-sisi merepresentasikan koneksi antar stasiun (biasanya berbobot).


Contohnya, lihat graf berarah berbobot yang sedang ditampilkan. Graf ini menunjukkan 5 simpul-simpul (stasiun-stasiun/tempat-tempat) dan 6 sisi-sisi (koneksi-koneksi/jalan-jalan antar stasiun-stasiun, dengan waktu tempuh berbobot positif seperti yang tertera). Misalkan kita mengemudikan sebuah mobil. Kita mungkin bertanya apa jalur yang perlu diambil untuk pergi dari stasiun 0 ke stasiun 4 supaya kita sampai di stasiun 4 dengan menggunakan waktu yang paling sedikit?


Diskusi: Bahas beberapa skenario-skenario di kehidupan nyata lainnya yang bisa dimodelkan sebagai graf.

2-3. Contoh-Contoh yang Lebih Sulit Dilihat

[This is a hidden slide]

3. Mode

Untuk beralih di antara mode-mode penggambaran graf, anda dapat memilih header yang ada. Kami memiliki:
  1. U/U = Tidak Terarah/Tidak Berbobot (default),
  2. U/W = Tidak Terarah/Berbobot,
  3. D/U = Terarah/Tidak Berbobot, dan
  4. D/W = Terarah/Berbobot.

4. Visualisasi

Anda bisa mengklik salah satu dari graf-graf contoh dan memvisualisasikan graf tersebut diatas.


Anda juga bisa menggambar graf secara langsung di area visualisasi:

  1. Klik di tempat kosong untuk menambah simpul,
  2. Klik sebuah simpul, tahan dan drag sisi yang digambar hingga ke simpul lain, dan drop disana untuk menambah sebuah sisi (Catatan: Aksi ini tidak tersedia untuk mobile users; anda membutuhkan sebuah mouse).
  3. Pilih sebuah simpul/sisi dan tekan tombol 'Delete' untuk menghapus simpul/edge tersebut,
  4. Pilih sebuah sisi dan tekan 'Enter' untuk mengubah bobot sisi tersebut [0..99],
  5. Tekan dan tahan 'Ctrl', lalu anda dapat mengklik dan men-drag posisi simpul tersebut.

4-1. Batasan-Batasan Visualisasi

Kami membatasi graf-graf yang dibahas dalam VisuAlgo adalah graf-graf sederhana (simple graphs). Lihat pembahasannya slide ini.


Kami juga membatasi jumlah simpul yang dapat Anda gambar di layar hingga 10 simpul, mulai dari simpul 0 sampai simpul 9. Ini, bersama dengan batasan graf sederhana di atas, membatasi jumlah sisi yang tidak terarah/terarah sebesar 45/90.

5. Graf-Graf Contoh

Seluruh graf-graf contoh dapat anda temukan di sini. Kami menyediakan tujuh graf-graf contoh per kategori (U/U, U/W, D/U, D/W).


Sadari bahwa setelah me-load salah satu dari graf-graf contoh ini, anda dapat memodifikasi graf yang ditampilkan tersebut lebih lanjut sesuai dengan kebutuhan anda.

6. Graf Spesial

Properti Pohon, Komplet, Bipartit, Graf Terarah Tidak-bersiklus (DAG) adalah properti-properti khusus dari sebuah graf. Setiap kali anda memodifikasi graf di atas, properti-properti ini selalu diperiksa keberadaannya.

6-1. Graf Spesial - Pohon, Bagian 1

Pohon adalah sebuah graf terhubung dengan V simpul-simpul dan E = V-1 sisi-sisi, tidak-bersiklus (acyclic), dan memiliki satu jalur unik antara sepasang simpul. Biasanya Pohon didefinisikan pada graf tidak terarah.


Sebuah Pohon yang tidak terarah (lihat di atas) sebenarnya memiliki siklus sepele (disebabkan oleh sisi-sisi dua arahnya) tetapi tidak mengandung siklus non-sepele. Pohon yang terarah jelas tidak-bersiklus (acyclic).


Karena Pohon hanya memiliki V-1 sisi-sisi, biasanya Pohon dianggap sebagai graf yang jarang (sparse).


Saat ini kami menunjukkan contoh U / U: Tree example. Anda dapat pergi ke 'Mode Eksplorasi' dan menggambar pohon-pohon anda sendiri.

6-2. Graf Spesial - Pohon, Bagian 2

Tidak semua Pohon-pohon memiliki tata letak gambar graf dimana simpul akar yang spesial berada diatas dan simpul-simpul daun (simpul-simpul dengan degree 1) berada dibawah. Graf (bintang) yang ditunjukkan diatas juga adalah sebuah Pohon karena graf tersebut memenuhi properti-properti dari sebuah Pohon.


Pohon dengan salah satu simpulnya ditunjuk sebagai simpul akar disebut sebagai Pohon yang berakar.


Kita selalu dapat mengubah Pohon apa pun menjadi Pohon yang berakar dengan menetapkan simpul tertentu (biasanya simpul 0) sebagai akar, dan menjalankan algoritma DFS atau BFS dari simpul akar.

6-3. Graf Spesial - Pohon, Bagian 3

In a rooted tree, we have the concept of hierarchies (parent, children, ancestors, descendants), subtrees, levels, and height. We will illustrate these concepts via examples as their meanings are as with real-life counterparts:

  1. The parent of 0/1/7/9/4 are none/0/1/8/3, respectively,
  2. The children of 0/1/7 are {1,8}/{2,3,6,7}/none, respectively,
  3. The ancestors of 4/8 are {3,1,0}/{0}, respectively,
  4. The descendants of 1/8 are {2,3,4,5,6,7}/{9}, respectively,
  5. The subtree rooted at 1 includes 1, its descendants, and all associated edges,
  6. Level 0/1/2/3 members are {0}/{1,8}/{2,3,6,7,9}/{4,5}, respectively,
  7. The height of this rooted tree is its maximum level = 3.

6-4. Graf Spesial - Pohon, Bagian 4

Untuk pohon yang berakar, kita juga dapat mendefinisikan beberapa properti-properti tambahan:


Sebuah pohon biner adalah pohon yang berakar dimana sebuah simpul memiliki paling banyak dua anak yang pas dinamakan sebagai anak kiri dan kanan. Kita sering melihat bentuk ini selama diskusi Pohon Pencarian Biner dan Tumpukan Biner.


Sebuah pohon biner penuh adalah pohon biner dimana setiap simpul bukan-daun (juga disebut sebagain simpul internal) memiliki tepat dua anak. Pohon biner yang ditunjukkan diatas memenuhi kriteria ini.


Pohon biner komplet adalah pohon biner dimana setiap tingkatan terisi penuh, kecuali mungkin tingkatan terakhir mungkin terisi sisi kirinya sebisa mungkin. Kita sering melihat bentuk ini terutama dalam pembahasan tentang Tumpukan Biner.

6-5. Graf Spesial - Komplit

Graf Komplet adalah sebuah graf dengan V simpul-simpul dan E = V*(V-1)/2 sisi-sisi (atau E = O(V2)), atau dengan kata lain ada sebuah sisi diantara sepasang simpul apapun. Biasanya graf Komplet ditulis sebagai KV.


Graf Komplet adalah graf sederhana yang paling padat (dense).


Saat ini kami menunjukkan contoh U/W: K5. Anda bisa pergi ke 'Mode Eksplorasi' dan menggambar graf-graf komplet anda sendiri (sedikit membosankan untuk ukuran V yang besar).

6-6. Graf Spesial - Bipartit

Graf Bipartit adalah graf tidak terarah dengan V simpul-simpul yang bisa dipartisi menjadi dua set simpul-simpul lepas dengan ukuran m dan n dimana V = m+n. Tidak ada sisi diantara anggota-anggota di set yang sama. Graf Bipartit juga bebas dari siklus dengan panjang-ganjil.


Kami saat ini menunjukkan U/U: Bipartite example. Anda bisa pergi ke 'Mode Eksplorasi' dan menggambar graf-graf bipartit anda sendiri.


Sebuah Graf Bipartite juga bisa komplet, yaitu semua m simpul-simpul dari satu set lepas terkoneksi dengan semua n simpul-simpul dari set lepas lainnya. Ketika m = n = V/2, Graf-graf Bipartit Komplet itu juga memiliki E = O(V2).

6-7. Graf Spesial - DAG

Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graph, DAG) adalah graf terarah yang tidak-bersiklus, yang sangat relevan untuk teknik-teknik Pemrograman Dinamis (Dynamic Programming, DP).


Setiap DAG mempunyai setidaknya satu Urutan Topologis (Topological Sort/Order) yang bisa ditemukan dengan merubah sedikit algoritma penjelajahan graf DFS/BFS. DAG akan dibahas kembali dalam teknik DP untuk SSSP pada DAG.


Kami saat ini menunjukkan contoh D/W: Four 0→4 Paths. Anda bisa pergi ke 'Mode Eksplorasi' dan menggambar DAG-DAG anda sendiri.

7. Tiga struktur data graf

Ada banyak cara untuk menyimpan informasi graf kedalam sebuah struktur data graf. Dalam visualisasi ini, kami menunjukkan tiga struktur data graf: Matriks Adjacency (Adjacency Matrix), Daftar Adjacency (Adjacency List), dan Daftar Sisi (Edge List) — masing-masing dengan kekuatan-kekuatan dan kelemahan-kelemahannya tersendiri.

7-1. Adjacency Matrix (AM)

Matriks Adjacency (Adjacency Matrix, AM) adalah matriks persegi dimana sel AM[i][j] menunjukkan bobot sisi dari simpul i ke simpul j. Untuk graf tidak berbobot, kita dapat menetapkan satuan berat = 1 untuk semua bobot sisi. Sebuah 'x' berarti bahwa simpul itu tidak ada (dihapus).


Kita menggunakan C++/Python/Java larik 2D native dengan ukuran VxV untuk mengimplementasikan struktur data ini.

7-2. AM - Lanjutan

Analisa Kompleksitas Ruang: Sebuah AM sayangnya membutuhkan kompleksitas ruang yang besar yaitu O(V2), meskipun bila graf kita ternyata jarang (sparse) (yaitu tidak mempunyai banyak sisi-sisi).


Diskusi: Mengetahui besarnya kompleksitas ruang dari AM, kapankah saat yang tepat untuk menggunakannya? Atau apakah AM selalu adalah struktur data graf yang inferior dan selalu tidak boleh digunakan di setiap saat?

7-3. Jawabannya

[This is a hidden slide]

7-4. Adjacency List (AL)

Daftar Adjacency (Adjacency List, AL) adalah sebuah larik berisi V senarai (lists), satu untuk setiap simpul (biasanya dalam nomor simpul menaik) dimana untuk setiap simpul i, AL[i] menyimpan daftar dari tetangga-tetangga i. Untuk graf-graf berbobot, kita bisa menyimpan pasangan-pasangan (nomor simpul tetangga, bobot dari sisi ini).


Kami menggunakan Vector dari Vector pair (untuk graf-graf berbobot) untuk mengimplementasikan struktur data ini.
Dalam C++: vector<vector<pair<int, int>>> AL;

Dalam Python: AL = [[] for _ in range(N)]

Dalam Java: Vector<Vector<IntegerPair>> AL;

// class IntegerPair di Java seperti pair<int, int> di C++

7-5. Kelas IntegerPair (dalam bahasa Java)

class IntegerPair implements Comparable<IntegerPair> {
Integer _f, _s;
public IntegerPair(Integer f, Integer s) { _f = f; _s = s; }
public int compareTo(IntegerPair o) {
if (!this.first().equals(o.first())) // this.first() != o.first()
return this.first() - o.first(); // salah karena kita mau
else // membandingkan nilai mereka,
return this.second() - o.second(); // bukan referensi mereka
}
Integer first() { return _f; }
Integer second() { return _s; }
}
// IntegerTriple mirip dengan IntegerPair, tapi mempunyai 3 parameter

7-6. Kenapa Vector dari Vector Pair?

Kami menggunakan pairs karena kami butuh menyimpan sepasang informasi untuk setiap sisi: (nomor simpul tetangga, bobot sisi) dimana sisi bisa di set ke 0 atau tidak dipakai untuk graf tidak berbobot.


Kami menggunakan Vector dari Pair karena fitur Vector yang bisa mengubah ukurannya secara otomatis. Jika kita mempunyai k tetanga-tetangga dari sebuah simpul, kita cuma menambah k kali ke Vector dari Pair untuk simpul ini yang pada awalnya kosong (Vector ini bisa diganti dengan Senarai Berantai).


Kami menggunakan Vector dari Vector dari Pair untuk fitur indeks dari Vector, yaitu jika kita mau mengenumerasi tetangga-tetangga dari simpul u, kita menggunakan AL[u] (C++/Python) atau AL.get(u) (Java) untuk mengakses Vector dari Pair yang tepat.

7-7. AL - Lanjutan

Analisa Kompleksitas Ruang: AL mempunyai kompleksitas ruang sebesar O(V+E), yang adalah jauh lebih efisien daripada AM dan biasanya adalah struktur data graf default didalam hampir semua algoritma-algoritma graf.


Diskusi: AL adalah struktur data graf yang paling sering dipakai, tetapi diskusi beberapa skenario-skenario dimana AL sesungguhnya bukan struktur data graf yang terbaik?

7-8. Jawabannya

[This is a hidden slide]

7-9. Daftar Sisi (Edge List, EL)

Daftar Sisi (Edge List, EL) adalah koleksi dari sisi-sisi dengan simpul-simpul yang berhubungan dan bobot-bobotnya. Biasanya, sisi-sisi ini diurutkan berdasarkan bobot menaik, contohnya seperti di bagian algoritma Kruskal untuk masalah Pohon Perentang Terkecil (Minimum Spanning Tree, MST). Tetapi dalam visualisasi ini, kita mengurutkan sisi-sisi berdasarkan nomor simpul pertama secara menaik dan jika ada yang sama, berdasarkan nomor simpul kedua secara menarik. Catat bahwa sisi-sisi dua arah dalam graf tidak-berarah/berarah didaftarkan sekali/dua-kali.


Kita menggunakan Vector dari triples untuk mengimplementasikan struktur data ini.
Dalam C++: vector<tuple<int, int, int>> EL;

Dalam Python: EL = [] 

Dalam Java: Vector<IntegerTriple> EL; 

// class IntegerTriple di Java seperti tuple<int, int, int> di C++

7-10. EL - Lanjutan

Analisa Kompleksitas Ruang: EL mempunyai kompleksitas ruang sebesar O(E), yang adalah lebih efisien dari AM dan sama efisiennya dengan AL.


Diskusi: Sebutkan potensi penggunaan EL selain dalam algoritma Kruskal untuk masalah Pohon Perentang Terkecil (Minimum Spanning Tree, MST)!

7-11. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8. Aplikasi-Aplikasi Sederhana

Setelah menyimpan informasi graf kita didalam sebuah struktur data graf, kita dapat menjawab beberapa pertanyaan-pertanyaan sederhana.

  1. Menghitung V,
  2. Menghitung E,
  3. Mendaftarkan tetangga-tetangga dari sebuah simpul u,
  4. Mengecek keberadaan sisi (u, v), dsb.

8-1. Menghitung V

Dalam AM dan AL, V hanyalah jumlah baris-baris di dalam struktur data yang bisa didapatkan dalam O(V) atau bahkan dalam O(1) — tergantung implementasi aktual.


Diskusi: Bagaimana cara menghitung V jika graf disimpan dalam sebuah EL?


Catatan: Kadang-kadang angka ini disimpan/dimutakhirkan di variable terpisah sehingga kita tidak harus menghitung ulang setiap kali — terutama jika graf kita tidak pernah/jarang berubah sejak dibuat, sehingga kita mendapatkan performa O(1), contohnya, kita dapat menyimpan data bahwa ada 7 simpul-simpul (dalam struktur data AM/AL/EL kita) untuk graf contoh diatas.

8-2. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8-3. Menghitung E

Didalam sebuah EL, E hanyalah jumlah dari baris-barisnya yang bisa dihitung dalam O(E). Catat bahwa tergantung kebutuhan, kita mungkin menyimpan sisi dua arah sekali saja di dalam EL tetapi di kasus lain, kita menyimpan dua sisi terarah didalam EL.


Didalam sebuah AL, E bisa ditemukan dengan menjumlahkan panjang dari semua V list dan membagi jawabannya dengan faktor 2 (untuk graf tidak terarah). Ini membutuhkan waktu komputasi O(V+E) karena setiap simpul dan setiap sisi hanya diproses sekali.


Diskusi: Bagaimana cara menghitung E jika graf nya disimpan dalam sebuah AM?


Catatan: Kadang-kadang angka ini disimpan/dimutakhirkan di variable terpisah untuk efisiensi, contohnya kita bisa menyimpan bahwa ada 8 sisi tidak terarah (di struktur data AM/AL/EL kita) untuk graf contoh yang ditampilkan diatas.

8-4. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8-5. Mengenumerasi Tetangga dari Simpul u

Didalam sebuah AM, kita butuh untuk menelusuri seluruh kolom-kolom dari AM[u][j] ∀j ∈ [0..V-1] dan melaporkan pasangan dari (j, AM[u][j]) jika AM[u][j] tidak nol. Ini adalah O(V) — lambat.


Didalam sebuah AL, kita hanya perlu menelusuri AL[u]. Jika hanya ada k tetangga-tetangga dari simpul u, maka kita hanya perlu O(k) untuk mengenumerasi mereka — ini disebut kompleksitas waktu yang sensitif-terhadap-keluaran dan sudah merupakan yang terbaik.


Kita biasanya mendaftarkan tetangga-tetangga dalam nomor simpul menaik. Contohnya, tetangga-tetangga dari simpul 1 di graf contoh diatas adalah {0, 2, 3}, dengan urutan nomor simpul menaik.


Diskusi: Bagaimana caranya melakukan ini bila grafnya disimpan dalam sebuah EL?

8-6. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8-7. Mengecek Keberadaan Sisi (u, v)

Dalam sebuah AM, kita dapat mengecek apakah AM[u][v] adalah nol. Ini adalah O(1) — yang paling cepat.


Dalam sebuah AL, kita harus mengecek apakah AL[u] berisi simpul v atau tidak. Ini adalah O(k) — lebih lambat.


Contohnya, simpul (2, 4) ada di graf contoh diatas tetapi simpul (2, 6) tidak ada.

Catat bahwa jika kita telah menemukan simpul (u, v), kita juga dapat mengakses dan/atau memutakhirkan bobotnya.


Diskusi: Bagaimana untuk melakukan ini bila grafnya disimpan dalam sebuah EL?

8-8. Jawabannya

[This is a hidden slide]

8-9. Diskusi

Quiz: So, what is the best graph data structure?

Adjacency List
It Depends
Edge List
Adjacency Matrix


Diskusi: Kenapa?

8-10. Jawabannya

[This is a hidden slide]

9. Tambahan-Tambahan

Anda telah mencapai akhir dari materi-materi dasar dari Struktur-struktur Data Graf yang cukup mudah ini dan kami menyemangati anda untuk mengeksplorasi lebih jauh di Mode Eksplorasi dengan menggambar graf-graf anda sendiri.


Tetapi, kami masih mempunyai beberapa tantangan Struktur-struktur Data Graf menarik untuk anda yang dibahas di bagian ini.


Catat bahwa struktur-struktur data graf biasanya cuma bagian yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk menyelesaikan masalah-masalah graf yang lebih susah seperti MSTSSSPMFMatchingMVCST, atau TSP.