Ketika algoritma penjelajahan graf yang terpilih sedang berjalan, animasinya akan ditampilkan di sini.
Seluruh algoritma-algoritma penjelajahan graf dapat dijalankan pada graf terarah (ini merupakan pengaturan default, di mana setiap sisi memiliki anak panah untuk menunjukkan arahnya), tetapi algoritma Pengecekan Graf Bipartit dan algoritma penemuan Simpul Potong & Jembatan memerlukan graf tak terarah (konversi dilakukan secara otomatis oleh visualisasi ini).
Ada dua sumber berbeda untuk menspesifikasikan graf masukan:
Jika anda tiba di Kuliah Maya ini tanpa pertama mengjelajahi/menguasai konsep Tumpukan Biner dan terutama Pohon Biner Terurut, kami menyarankan agar anda mengeksplorasi mereka dulu, karena menjelajahi sebuah struktur Pohon (Biner) jauh lebih mudah daripada menjelajahi sebuah graf umum.
Quiz: Mini pre-requisite check. What are the Pre-/In-/Post-order traversal of the binary tree shown (root = vertex 0), left and right child are as drawn?
Post = 4, 3, 2, 1, 0Kita biasanya mulai dari simpul yang paling penting dari sebuah pohon (biner): Simpul akar.
Jika pohon yang diberikan tidak 'berakar' (lihat gambar contoh), kita bisa ambil satu simpul apa saja (contohnya, simpul 0 di gambar contoh) dan menunjuknya sebagai akar. Jika kita membayangkan semua sisi-sisi adalah tali-tali dengan panjang yang sama, maka setelah "secara virtual mengangkat akar yang ditunjuk keatas" dan membiarkan gravitasi menarik sisanya kebawah, kita akan mendapat pohon berakar yang terarah (kebawah) — lihat slide berikutnya.
Catatan: Secara teknis, transformasi ini dilakukan dengan menjalankan DFS(0) yang akan kita eksplorasi segera.
Dalam sebuah pohon biner, kita hanya mempunyai paling banyak dua pilihan tetanga: Dari simpul sekarang, kita bisa pergi ke sub-pohon kiri dulu atau pergi ke sub-pohon kanan dulu. Kita juga mempunyai opsi untuk mengunjungi simpul sekarang sebelum atau sesudah mengunjungi satu (atau kedua) sub-pohon.
Ini menghasilkan beberapa penjelajahan klasik: pre-order (kunjungi simpul sekarang, kunjungi sub-pohon kirinya, kunjungi sub-pohon kanannya), in-order (kiri, sekarang, kanan), dan post-order (kiri, kanan, sekarang).
Diskusi: Apakah anda menyadari bahwa ada tiga lagi kombinasi penjelajahan pohon biner yang memungkinkan? Apa sajakah mereka?
Didalam pohon biner, atau didalam struktur pohon pada umumnya, tidak ada siklus (tidak-trivial) yang berurusan dengan 3 atau lebih simpul yang berbeda yang perlu kita khawatirkan (kita tidak menganggap siklus trivial yang berurusan dengan sisi-sisi dua-arah yang bisa diurus dengan mudah — lihat tiga slide selanjutnya).
Dalam graf umum, kita tidak memiliki gagasan tentang simpul akar. Melainkan, kita perlu memilih satu simpul yang dikhususkan untuk menjadi titik mula dari penjelajahan, yaitu simpul sumber s.
Kita juga mempunyai 0, 1, ..., k tetangga dari sebuah simpul daripada hanya ≤ 2.
Kita mungin (atau sebenarnya sangat mungkin) memiliki siklus(-siklus) dalam graf umum kita daripada pohon yang tidak-bersiklus,
baik itu adalah siklus yang trivial seperti u → v → u atau yang tidak-trivial seperti a → b → c → a.
Tetapi jangan takut, penjelajahan graf adalah masalah mudah dengan dua algoritma klasik: DFS dan BFS.
Salah satu algoritma penjelajahan graf yang paling dasar adalah O(V+E) Depth-First Search (DFS).
DFS membutuhkan satu parameter masukan: Vertex sumber s.
DFS adalah salah satu algoritma graf yang paling mendasar, jadi tolong gunakan waktu untuk mengerti semua langkah-langkah kunci dari algoritma ini.
Analogi terdekat dengan perilaku DFS adalah untuk mengimaginasikan sebuah maze dengan hanya satu pintu masuk dan satu pitu keluar. Anda berada pada pintu masuk dan mau mengeksplorasi maze untuk mencapai pintu keluar. Tentu saja anda tidak bisa membelah diri anda menjadi lebih dari satu.
Tanya pertanyaan-pertanyaan reflektif ini sebelum melanjutkan: Apa yang akan anda lakukan jika ada opsi-opsi bercabang didepan anda? Bagaiamana untuk menghindari berjalan dalam siklus? Bagaimana cara menandai jalur anda sendiri? Petunjuk: Anda membutuhkan sebuah kapur, batu-batu (atau penanda lainnya) dan sebuah tali (yang panjang).
Seperti namanya, DFS dimulai dari sebuah simpul sumber s yang dibedakan dan menggunakan rekursi (sebuah tumpukan implisit) untuk mengatur urutan pengunjungan sedalam mungkin sebelum mundur (backtracking).
Jika DFS ada di simpul u dan DFS memiliki X tetangga, DFS akan memilih tetangga pertama V1 (biasanya simpul dengan nomor simpul terkecil), secara rekursif mengeksplorasi semua simpul-simpul yang terjangkau dari simpul V1, dan pada akhirnya mundur (backtrack) ke simpul u. DFS akan lalu melakukan hal yang sama ke tetanga-tetangga lainnya sampai DFS selesai menjelajahi tetangga terakhir VX dan semua simpul-simpul yang terjangkau dari sana.
Penjelasan yang penuh teks ini akan lebih jelas dengan animasi DFS nantinya.
Jika grafnya bersiklus, strategi 'coba-semua' sebelumnya bisa membuat DFS berjalan dalam siklus.
Jadi bentuk dasar dari DFS menggunakan sebuah larik status[u] dengan ukuran V simpul untuk menentukan diantara dua kondisi biner: Apakah simpul u telah dikunjungi atau belum dikunjungi. Hanya jika simpul u masih belum dikunjungi, maka DFS bisa mengunjungi simpul u.
Ketika DFS kehabisan opsi, maka DFS mundur kembali (backtrack) ke simpul sebelumnya (p[u], lihat slide berikut) saat rekrusinya kembali (unwinds).
DFS menggunakan sebuah larik lain p[u] dengan ukuran V sisi-sisi untuk mengingat orang tua/pendahulu/sebelum dari tiap simpul u sepanjang jalur penjelajahan DFS.
Pendahulu dari simpul sumber, yaitu p[s] diset ke -1 untuk mengatakan bahwa simpul sumber tidak memiliki pendahulu (karena nomor simpul terkecil adalah simpul 0).
Urutan simpul-simpul dari simpul u yang dapat dijangkau dari simpul sumber s kembali ke s membentuk pohon perentang (spanning tree) DFS. Kami mewarnai sisi-sisi pohon (tree edges) ini dengan warna merah.
Untuk saat ini, abaikan status[u] = explored ekstra di pseudocode yang sedang ditampilkan dan keberadaan sisi-sisi biru dan abu-abu dalam visualisasi (akan dijelaskan segera).
Tanpa basa-basi lagi, mari eksekusi pada graf contoh default untuk Kuliah Maya ini (CP3 Figure 4.1).
Versi dasar dari DFS yang dipresentasikan sejauh ini sudah cukup untuk kebanyakan kasus-kasus sederhana.
Kompleksitas waktu dari DFS adalah O(V+E) karena:
Kompleksitas waktu O(V+E) dari DFS hanya bisa dicapai jika kita dapat mengunjungi semua k simpul-simpul tetangga dari sebuah simpul dalam waktu O(k).
Quiz: Which underlying graph data structure support that operation?
Diskusi: Kenapa?
Algoritma penjelajahan graf dasar yang lain adalah O(V+E) Breadth-First Search (BFS).
Sama seperti DFS, BFS juga membutuhkan satu parameter masukan: Simpul sumber s.
DFS dan BFS memiliki kekuatan-kekuatan dan kelemahan-kelemahan masing-masing. Penting untuk mempelajari keduanya dan mengaplikasikan algoritma penjelajahan graf yang tepat pada situasi yang tepat.
Bayangkan sebuah kumpulan air tenang dan anda melempar sebuah batu kedalamnya. Lokasi pertama dimana batu tersebut mengenai permukaan air adalah posisi dari simpul sumber dan efek riak sepanjang permukaan air seperti pola penjelajahan BFS.
BFS sangat mirip dengan DFS yang sudah didiskusikan sebelumnya, tetapi dengan beberapa perbedaan.
BFS dimulai dari sebuah simpul sumber s tetapi BFS menggunakan sebuah antrean untuk mengatur urutan visitasi selebar mungkin sebelum masuk lebih dalam.
BFS juga menggunakan sebuah larik Boolean dengan ukuran V simpul-simpul untuk membedakan antara dua kondisi: simpul-simpul yang sudah dikunjungi dan yang belum dikunjungi (kita tidak akan menggunakan BFS untuk mendeteksi sisi(-sisi) belakang (back) seperti DFS).
Dalam visualisasi ini, kita juga menunjukkan bahwa dimulai dengan simpul sumber s yang sama dalam sebuah graf tidak-berbobot, pohon perentang (spanning tree) BFS dari grafnya sama dengan pohon perentang SSSPnya.
Tanpa basa-basi lagi, mari eksekusi pada graf contoh default untuk Kuliah Maya ini (CP3 Figure 4.3). .
Sadari bahwa penjelajahan Kesamping-dulu (Breadth-first) karena penggunaan struktur data FIFO: Antrean?
Kompleksitas waktu dari BFS adalah O(V+E) karena:
Sama seperti DFS, kompleksitas waktu O(V+E) ini hanya mungkin jika kita menggunakan struktur data graf Daftar Adjacency (Adjacency List) — alasan yang sama dengan analisa DFS.
Sejauh ini, kita dapat menggunakan DFS/BFS untuk menyelesaikan beberapa varian-varian masalah penjelajahan graf:
Untuk kebanyakan kelas-kelas struktur data dan algoritma, aplikasi-aplikasi dari DFS/BFS cukup sampai beberapa yang sederhana ini saja, meskipun DFS/BFS sebenarnya bisa melakukan lebih banyak lagi...
Jika anda diminta untk mengetes apakah sebuah simpul s dan sebuah simpul (berbeda) t dalam sebuah graf dapat saling menjangkau satu sama lain, yaitu terhubung langsung (lewat sebuah sisi langsung) atau tidak langsung (lewat sebuah jalur sederhana, tidak bersiklus), anda dapat memanggil O(V+E) DFS(s) (atau BFS(s)) dan mengecek apabila status[t] = visited.
Contoh 1: s = 0 dan t = 4, jalankan dan sadari bahwa status[4] = visited.
Contoh 2: s = 0 dan t = 7, jalankan dan sadari bahwa status[7] = unvisited.
Ingat bahwa kita mengeset p[v] = u setiap kali kita berhasil untuk meluaskan penjelajahan DFS/BFS dari simpul u ke simpul v — sebuah sisi pohon dalam pohon perentang DFS/BFS. Maka, kita bisa menggunakan fungsi rekursif sederhana ini untuk mencetak jalur yang disimpan di larik p. Diskusi lanjutan yang mungkin: Dapatkah anda melihat ini di bentuk iteratif? (trivial)
metode backtrack(u)
if (u == -1) stop
backtrack(p[u]);
cetak simpul u
Untuk mencetak jalur dari simpul sumber s ke simpul target t di graf, anda bisa memanggil O(V+E) DFS(s) (atau BFS(s)) dan lalu O(V) backtrack(t). Contoh: s = 0 dan t = 4, anda bisa memanggil dan lalu backtrack(4).
Kita bisa mengenumerasi semua simpul-simpul yang terjangkau dari sebuah simpul s dalam sebuah graf tidak-terarah (seperti graf contoh yang ditunjukkan diatas) dengan memanggil saja O(V+E) DFS(s) (atau BFS(s)) dan mengenumerasi semua simpul v yang mempunya status[v] = visited.
Contoh: s = 0, jalankan dan sadari bahwa status[{0,1,2,3,4}] = visited jadi mereka semua adalah simpul-simpul yang terjangkau dari simpul 0, yaitu mereka membentuk satu Komponen Terhubung (Connected Component, CC).
Kita bisa menggunakan pseudo-code berikut untuk menghitung jumlah CC:
CC = 0
for all u in V, set status[u] = unvisited
for all u in V
if (status[u] == unvisited)
++CC // kita bisa menggunakan nomor penghitung CC sebagai label CC
DFS(u) // atau BFS(u), yang akan menandai anggotanya sebagai telah dikunjungi
output CC // jawabannya 3 untuk graf contoh diatas, yaitu
// CC 0 = {0,1,2,3,4}, CC 1 = {5}, CC 2 = {6,7,8}
Anda bisa memodifikasi kode DFS(u)/BFS(u) sedikit jika anda mau menggunakannya untuk melabel setiap CC dengan nomor identifikasi dari CC tersebut.
Quiz: What is the time complexity of Counting the Number of CCs algorithm?
Diskusi: Kenapa?
Kita sebenarnya bisa meng-augmentasi DFS dasar lebih jauh untuk memberikan wawasan lebih tentang graf yang sedang dibahas.
Dalam visualisasi ini, kami menggunakan warna biru untuk menyorot sisi(-sisi) kembali (back edge) dari pohon perentang DFS. Keberadaan satu saja sisi kembali menunjukkan bahwa (komponen) graf yang sedang dieksplorasi adalah bersiklus ketika ketidakadaannya menunjukkan bahwa setidaknya komponen yang terhubung dengan vertex sumber dari graf yang sedang dijelajahi adalah tidak-bersiklus.
Sisi belakang (Back edge) bisa dideteksi dengan memodifikasi larik status[u] untuk menyimpan tiga keadaan berbeda:
Jika DFS sekarang berada di simpul x dan mengeksplorasi sisi x → y dan menjumpai status[y] = dieksplorasi, kita bisa mendeklarasikan x → y sebagai sisi belakang (back edge) (sebuah siklus ditemukan karena kita sebelumnya ada di simpul y (maka status[y] = dieksplorasi), pergi ke dalam ke tetangga dari y dan selanjutnya, tetapi sekarang kita ada di simpul x yang terjangkau dari y tetapi simpul x kembali menunjuk ke simpul y).
Sisi-sisi dalam graf yang bukan sisi(-sisi) pohon (tree edge) maupun sisi(-sisi) belakang (back edge) diwarnai abu-abu. Mereka disebut sebagai sisi(-sisi) forward atau cross dan saat ini kegunaannya terbatas (tidak dibahas lebih lanjut).
Sekarang coba pada graf contoh diatas dengan pemahaman baru ini terutama tentang 3 status yang memungkinkan untuk sebuah simpul (belum-dikunjungi/lingkaran hitam normal, dijelajahi/lingkaran biru, dikunjungi/lingkaran oranye) dan sisi belakang (back). Sisi 2 → 1 akan ditemukan sebagai back edge karena sisi itu adalah bagian dari siklus 1 → 3 → 2 → 1 (sama juga dengan sisi 6 → 4 sebagai bagian dari siklus 4 → 5 → 7 → 6 → 4).
Sadari bahwa jika sisi-sisi 2 → 1 dan 6 → 4 dibalik menjadi 1 → 2 dan 4 → 6, maka grafnya akan secara benar diklasifikasikan sebagai tidak bersiklus karena sisi 3 → 2 dan 4 → 6 pergi dari `dijelajahi' to `dikunjungi penuh'. Jika kita hanya menggunakan status binary: `belum-dikunjungi' vs `dikunjungi', kita tidak bisa membedakan kedua kasus-kasus ini.
Ada aplikasi DFS (dan juga BFS) lainnya yang bisa dianggap 'sederhana': Melakukan Pengurutan Topologis dari sebuah Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graph, DAG) — lihat contoh diatas.
Pengurutan Topologis dari sebuah DAG adalah urutan linear dari simpul-simpul DAG dimana setiap simpul muncul sebelum semua simpul-simpul lain yang kepadanya ada sisi keluar.
Setiap DAG (bisa dicek dengan DFS sebelumnya) mempunyai setidaknya satu tapi mungkin beberapa urutan topologis.
Salah satu tujuan dari (setidaknya satu) urutan topologis dari sebuah DAG adalah untuk teknik Pemrograman Dinamis (Dynamic Programming, DP). Contohnya, proses pengurutan topologis digunakan secara internal dalam solusi DP untuk SSSP pada DAG.
Kita dapat menggunakan antara O(V+E) DFS atau BFS untuk melakukan Pengurutan Topologis dari sebuah Graf Terarah Tidak-bersiklus (Directed Acyclic Graph, DAG).
Versi DFS membutuhkan hanya satu baris tambahan dibandingkan dengan DFS normal dan pada dasarnya adalah penjelajahan post-order dari graf tersebut. Coba pada DAG contoh.
Versi BFS berdasarkan ide simpul-simpul tanpa sisi masuk (incoming edge) dan juga disebut sebagai algoritma Kahn. Coba pada DAG contoh.
Pada saat ini, anda telah melihat DFS/BFS dan apa yang DFS/BFS bisa selesaikan (dengan hanya perubahan-perubahan kecil). Ada beberapa aplikasi-aplikasi tingkat lanjut yang membutuhkan lebih banyak perubahan-perubahan dan kami akan membiarkan murid-murid tingkat lanjut untuk mengeksplorasi mereka sendiri:
Iklan: Detil-detilnya sudah ditulis di buku Competitive Programming.
Kita bisa menggunakan O(V+E) DFS atau BFS (keduanya bekerja dengan mirip) untuk mengecek apakah sebuah graf yang diberikan adalah graf bipartit dengan memberi warna secara selang-seling (oranye dan biru dalam visualisasi ini) pada simpul-simpul yang berhubungan dan melaporkan 'non-bipartit' apabila kita terpaksa memberi warna yang sama pada dua simpul yang berhubungan atau 'bipartit' bila kita berhasil memberi melakukan proses 'pewarnaan dengan 2 warna saja'. Coba atau pada Graf Bipartit contoh.
Graf Bipartit memiliki aplikasi-aplikasi yang berguna di (masalah Pencocok Graf (Bipartit).
Perlu dicatat bahwa Graf-Graf Bipartit biasanya hanya didefinisikan untuk graf tak terarah dan visualisasi di halaman ini akan mengubah graf terarah masukan menjadi graf tak terarah secara otomatis sebelum melanjutkan. Langkah ini bersifat permanen dan tidak dapat dibatalkan, sehingga anda harus menggambar ulang graf terarah masukkan anda untuk hal-hal lainnya.
Kita dapat memodifikasi (tetapi sayangnya, tidak dengan mudah) algoritma DFS O(V+E) menjadi algoritma untuk mencari simpul-simpul artikulasi & jembatan dari sebuah graf tak terarah.
Sebuah Simpul Potong (Cut Vertex), atau Titik Artikulasi (Articulation Point), adalah simpul dari sebuah graf tak terarah yang apabila simpul tersebut dihapuskan dari graf yang ada akan mengakibatkan graf tersebut menjadi tak terhubung. Demikian pula, sebuah jembatan (bridge) adalah sebuah sisi dari graf tak terarah yang kalau dihapus akan mengakibatkan graf tersebut menjadi tak terhubung.
Perlu dicatat bahwa algoritma pencari Simpul Potong & Jembatan ini hanya bekerja untuk graf-graf tak berarah dan visualisasi di halaman ini akan mengubah graf terarah masukan menjadi graf tak terarah secara otomatis sebelum melanjutkan. Langkah ini bersifat permanen dan tidak dapat dibatalkan, sehingga anda harus menggambar ulang graf terarah masukkan anda untuk hal-hal lainnya. Anda bisa mencoba pada graf contoh diatas.
Kita dapat memodifikasi (tetapi sayangnya, tidak dengan mudah) algoritma O(V+E) DFS menjadi algoritma untuk mencari Komponen-komponen yang Terhubung Kuat (Strongly Connected Components, SCCs) dari sebuah graf terarah G.
Sebuah SCC dari graf terarah G didefinisikan sebagai sub-graf S dari G dimana untuk tiap dua simpul u dan v dalam S, simpul u dapat mengunjungi simpul v secara langsung atau melalui sebuah jalur, dan vertex v juga bisa mengunjungi simpul u secara langsung atau melalui sebuah jalur.
Ada dua algoritma yang diketahui bisa menemukan SCCs dari sebuah Graf Terarah: Kosaraju dan Tarjan. Keduanya tersedia di visualisasi ini. Coba dan/atau pada graf terarah contoh diatas.
Kami juga memiliki algoritma pengecekan 2-SAT. Diberikan sebuah instance dari masalah 2-Satisfiability (2-SAT) dalam bentuk konjungsi klausa-klausa: (klausa1) ^ (klausa2) ^ ... ^ (klausan) dan setiap klausa ditulis dalam bentuk disjungtif (maksimal 2 variabel vara v varb), tentukan apakah kita bisa memberikan nilai True (Benar)/False (Salah) ke variabel-variabel tersebut sehingga instance 2-SAT tersebut dapat menjadi true (benar), atau dengan kata lain dapat dipenuhi (satisfiable).
Ternyata, setiap klausa (a v b) dapat diubah menjadi empat simpul a, bukan a, b, dan bukan b dengan dua sisi (not a → b) dan (not b → a). Maka kita memiliki graf berarah. Jika ada setidaknya satu variabel dan negasinya dalam sebuah SCC (Strongly Connected Component) dari graf tersebut, kita tahu bahwa tidaklah mungkin untuk memenuhi instance 2-SAT ini.
Setelah pemodelan graf tersebut, kita dapat menjalankan algoritma pencarian SCC (Algoritma Kosaraju atau Tarjan) untuk menentukan apakah instance 2-SAT tersebut dapat dipenuhi.
Quiz: Which Graph Traversal Algorithm is Better?
Diskusi: Kenapa?
Ada banyak hal yang masih bisa kita lakukan dengan hanya DFS dan/atau BFS...
Ada pertanyaan-pertanyaan menarik tentang dua algoritma penjelajahan graf: DFS+BFS dan varian-varian dari masalah-masalah penjelajahan graf, silahkan latihan pada modul Penjelajahan Graf (tidak perlu login).
Tetapi, untuk pengguna yang teregistrasi, anda sebaiknya login dan pergi ke Halaman Latihan Utama untuk secara resmi menyelesaikan modul ini dan prestasi tersebut akan disimpan di akun pengguna anda.
Kami juga mempunyai beberapa masalah-masalah pemrograman yang membutuhkan penggunaan DFS dan/atau BFS: Kattis - reachableroads dan Kattis - breakingbad.
Cobalah untuk memecahkan masalah-masalah tersebut dan lalu coba jauh lebih banyak teknik-teknik/varian-varian menarik dari masalah dan/atau algoritma penjelajahan graf simple ini.
Anda dipersilahkan untuk menggunakan/memodifikasi kode implementasi kami untuk algoritma-algoritma DFS/BFS: dfs_cc.cpp/bfs.cpp dfs_cc.java/bfs.java dfs_cc.py/bfs.py dfs_cc.ml/bfs.ml